Читаем без скачивания Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера - Николай Иванович Конон
- Категория: Научные и научно-популярные книги / Математика
- Название: Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера
- Автор: Николай Иванович Конон
- Возрастные ограничения: (18+) Внимание! Аудиокнига может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних просмотр данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕН! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту для удаления материала.
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Николай Конон
Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера
Введение
Известны многочисленные свойства ряда натуральных чисел. Одно из них состоит в том, что для любого числа на числовой оси найдется пара чисел, отстоящих слева и справа на одинаковое числовое расстояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].
1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел
Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N+0 = N+U {0} [1].
Исследуем числовую ось натурального ряда N+0 (рис. 1)
N+0 = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k}
Рис. 1
Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство:
n – a = b – n. (1.1)
Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n.
Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N+0 показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно:
1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние δ.
2) Числовое расстояние δ, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:
δ = n – a = b – n. (1.2)
3) Из выражения (1.2) получаем:
a = n – δ; b = n + δ. (1.3)
4) При этом из выражения (1.2) также имеем:
n = a + δ = b – δ. (1.4)
5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна
a + b = 2n. (1.5)
6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна
b – a = 2δ. (1.6)
Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.
7) Из выражения (1.6) вытекает
δ =(b – a)/2. (1.7)
8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.
Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние δ.
Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.
Таблица 1
Число n
Симметричная пара чисел {(a, b)} числа n
Числовое расстояние δ
1
{(0,2)}
1
2
{(1,3),(0,4)}
1,2
3
{(2,4),(1,5),(0,6)}
1,2,3
4
{(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}
1,2,3,4
.
……………….
………
n
{(n–1, n+1), (n–2, n+2),…… (1, n+n-1), (0, n+n)}
1,2,3,.…n–1,n
где a и b – симметричные пары для числа n.
Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.
Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется
δ = (1,2,3,……… n). (1.8)
Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.
Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.
Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.
Доказательство. Из свойств натуральных чисел N+0 известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде
ni+1 = ni + 1, (1.9)
Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать
ni+δ = ni + δ, (1.10)
где δ число равное 1, 2, 3.….
Тогда можно записать, что и
ni-δ = ni – δ. (1.11)
Отсюда имеем
ni = ni-δ + δ. (1.12)
Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем
ni – ni-δ = ni+δ – ni = δ. (1.13)
Далее если принять ni+δ = b, ni-δ = a, ni = n, то в новых обозначениях можно записать
n – a = b – n = δ. (1.14)
Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.
a = n – δ; b = n + δ.
Ввиду того, что δ = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.
В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.
2. Исследование множеств симметричных пар
Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,
C = {an,…ai,…a3, a2, a1, b1, b2, b3,… bi…bn }, (2.1)
где ai, bi. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).
Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества
A = {a1, a2, a3,…an } и множества B = {b1, b2, b3,…bn }. (2.2)
Очевидно C = A U B.
Для нашего примера эти множества