при умножении: делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю × частное + остаток. Например:
В «Арифметике» Магницкого предлагается для проверки девяткой следующее удобное расположение:
Для умножения:
Для деления:
Подобная проверка, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; поэтому не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних цифр другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, так как они не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку – чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков», но не так удобен, как «способ девятки», потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (причем легко возможны ошибки в действиях самой проверки). Две проверки – девяткой и семеркой – уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной проверки, то будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7 × 9 = 63. Так как это все же случайно возможно, то и двойная проверка не может дать полной уверенности в правильности результата.
Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 единицы, можно ограничиться только проверкою девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Всякий контроль хорош только тогда, когда не мешает работе.
«Русский» способ умножения
В некоторых местностях у наших крестьян приходится иногда наблюдать применение очень остроумного способа умножения целых чисел, который не похож на обычный школьный прием и унаследован, по-видимому, от глубочайшей древности. Способ это интересен тем, что, пользуясь им, можно обходиться без таблицы умножения, так как умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
Вот пример:
32 × 13
16 × 26
8 × 52
4 × 104
4 × 208
1 × 416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Основание этого приема очевидно: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:
32 × 13 = 1 × 416.
Но как поступать, если приходится делить пополам число нечетное?
Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо – гласит правило, – в случае нечетного числа откинуть единицу и остаток делить пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):
19 × 17
9 × 34
4 × 68*
2 × 136*
1 × 272
Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
Нетрудно понять полную теоретическую обоснованность этого приема, если принять во внимание, что
19 × 17 = (18 + 1) 17= 18 × 17 + 17
9 × 34 = (8 + 1) 34 = 8 × 34 + 34 и т. п.
Ясно, что числа – 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Нельзя, как видите, отказать в практичности этому народному приему умножения, который один научный английский журнал («Knowledge» – знание) окрестил «русским крестьянским» способом.
Из Страны пирамид
Весьма вероятно, что способ этот дошел до нас из глубочайшей древности и притом из отдаленной страны – из Египта. Мы мало знаем, как считали и производили действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный памятник – папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый папирус Ринда, относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до нашей эры[15] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец[16] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера – вместе с их ошибками и исправлениями учителя – и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:
«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.
Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом».
В этом интересном документе, насчитывающем за собою около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера (№ 48, 50, 66 и 79 по нумерации Эйзенлора) умножения, выполненных по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):
Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 × 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17:
и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, т. е. 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 × 17) + (16 × 17) = = 19 × 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений).
Трудно сказать, у одних ли русских
