Синусоида не менее распространена, чем S-образная кривая. Обычно дети так рисуют море:
И дети целиком правы, так как синусоида олицетворяет все волновые процессы природы, человека и Вселенной, в том числе и привычные нам волны на воде. Уравнения Шредингера квантового мира, электромагнитные волны нашего телевизора и радио, волны всевозможных видов жидкостей. По-видимому, даже жизнь космоса подчиняется этой функции. После большого взрыва наша Вселенная расширялась по Степенному Правилу, то есть экспоненциально. Сейчас ее расширение замедляется, и это означает, что Вселенная приближается к вершине. После периода относительно стабильного расширения наступит этап постепенного сжатия. А после этого Вселенная схлопнется по Степенному Правилу с неимоверной скоростью и скатится в следующую нижнюю точку синусоиды.
Нормальное правило используется и в современной социологии:
«Конечно, есть и более простое объяснение, и состоит оно в том, что ADHD не болезнь, а хвост гауссовой кривой, описывающей распределение абсолютно нормального поведения.[22] Люди молодого возраста, в частности мальчики, не созданы эволюцией для того, чтобы сидеть за партой много часов подряд, не сводя глаз с учителя, а созданы для бега, игры и прочих занятий, требующих физической активности. И именно наши настойчивые требования тихо сидеть на уроке, тот факт, что у родителей и учителей не хватает времени, чтобы заниматься с нами более интересными заданиями, – это-то и создает впечатление, будто ширится некая болезнь»[23].
Теперь перейдем к Степенному Правилу.
Степенное Правило выражает соотношение геометрической прогрессии между двумя или больше определенными факторами. Эту закономерность могут называть еще «показательной функцией» или «логарифмической функцией».
Сущность этого правила: равное приращение одной переменной соответствует все увеличивающемуся (или уменьшающемуся) относительному приросту другой переменной, и наоборот. Эта формула может быть модернизирована добавлением коэффициента k: у = kx2. Если коэффициент сделать отрицательным, то кривая зеркально отобразится относительно оси ОХ. Если добавить константу а, то получим: у = а + kx2.
Также и x может быть не только во второй степени и не только в числителе. Поэтому геометрическая прогрессия будет выражаться формулами у = а + kxn или у = а + 1/kxn, что может быть определено в словах следующим образом: одинаковое изменение результата вызывается все увеличивающимся (или уменьшающимся) изменением фактора, и, наоборот, все увеличивающееся (уменьшающееся) изменение результата вызывается одинаковым увеличением (уменьшением) фактора.
Разные специалисты разных наук порой называют по-разному одно и тоже. А писатели или журналисты тем более. Речь идет именно о Степенном Правиле, когда говорят: «геометрическая прогрессия», «экспоненциальный рост», «Степенной Закон».
Проявления Степенного Правила:
теория самоорганизованной критичности; теория фракталов; закон землетрясений Гутенберга-Рихтера; лог-периодическая модель поведения рынка при финансовом крахе Апилара, Ослуша и Сорнье; закон радиоактивного распада Содди и Резерфорда; цитируемость научных работ, выявленная Реднером; теория войн и революций Бьюкенена и Ричардсона; распределение богатства в любой стране (любых веков) среди населения по правилу Парето; закон роста компаний Стенли и Селлинджера; зависимость на выборах «кандидат – доля голосов» Фильо; модель взаимодействия народов разных культур Роберта Аксельрода.
Наконец, по Степенному Правилу развиваются финансовые пузыри: биржевые, ипотечные и т. п. взлеты цен, заканчивающиеся коллапсом. Причем, коллапс также демонстрирует Степенное правило, только в снижающейся парадигме.
КомментарийОдним из первых на Степенное Правило обратил внимание английский ученый Роберт Гук. В этом виде у=-kx2 геометрическая прогрессия представляет собой модернизированный Закон Гука. Первоначально этот закон, открытый Робертом Гуком в XVII веке, имел вид: у= – kx. Гук исследовал связь между силой воздействия на упругое тело (например, пружину) и степенью деформации этого тела (растяжения). Будучи современником Исаака Ньютона, вместе с ним активно участвовал в работе Королевского общества, в 1677 году занял там пост ученого секретаря. Как и многие другие ученые того времени, Роберт Гук интересовался самыми разными областями естественных наук и внес вклад в развитие многих из них. В своей монографии «Микрография» (Micrographia) он опубликовал множество зарисовок микроскопического строения животных тканей и других биологических образцов и впервые ввел современное понятие «живая клетка». В геологии он первым осознал важность геологических пластов и первым в истории занялся научным изучением природных катаклизмов. Он же одним из первых высказал гипотезу, что сила гравитационного притяжения между телами убывает пропорционально квадрату расстояния между ними, а это ключевой компонент Закона всемирного тяготения Ньютона, и двое соотечественников и современников так до конца жизни и оспаривали друг у друга право называться его первооткрывателем. Наконец, Гук разработал и собственноручно построил целый ряд важных научно-измерительных приборов – и многие склонны видеть в этом его главный вклад в развитие науки. Он, в частности, первым додумался помещать перекрестье из двух тонких нитей в окуляр микроскопа, первым предложил принять температуру замерзания воды за ноль температурной шкалы, а также изобрел универсальный шарнир (карданное сочленение).
Но если говорить о Законе всемирного тяготения, то здесь Гук уже сформулировал нелинейную зависимость: F=1/D2, где F – сила гравитационного притяжения, а D – расстояние между телами.
При заданных значениях масс тел эта формула отличается от ньютоновского Закона всемирного тяготения только отсутствием перед дробью коэффициента G: F=G*1/D2. Ньютон также ввел факторы масс тел и получил свою более усложненную формулу, которая и считается классической: F=G*M*m/D2.
Но зависимость именно между силой гравитации и расстоянием при отсутствии влияния факторов масс тела (при постоянных массах) имеет вид, сформулированный Гуком.
* * *
Степенное правило проявляется и в спиралях. Наиболее явно – в логарифмической и гиперболической спиралях. Например, завихрения жидкостей и газов происходят по данному типу: ураганы и штормы, омуты и воронки, циклоны и антициклоны. Также один из основных типов галактик во Вселенной – спиральные галактики, к которым относится и наша. Солнечная система расположена между двумя спиральными рукавами нашей Галактики и равноудалена от областей активного звездообразования, источников губительного для жизни излучения. В этом проявляется Нормальное Правило и Правило Равновесия.
Само понятие равновесия предполагает методы его поддержания в ответ на попытки внешней среды его нарушить. И здесь мы видим универсальный механизм поддержания равновесия – Маятник. Так я условно называю все колебательные процессы, изучаемые теорией волн и колебаний. Все виды волн от морских до электромагнитных в нашем макромире и поведение микромира квантовой физики, описываемое функцией Шредингера, подчиняются Правилу Маятника. Вот пять основных признаков колебаний маятника:
1. Стремление к возврату в стабильное состояние.
2. Действие рождает противоположное действие.
3. Ответное действие возвращает систему не в стабильное состояние, а в зону противоположной нестабильности.
4. Ответное действие слабее. Каждое последующее отклонение от стабильности по модулю меньше предыдущего.
5. Чем сильнее предыдущее отклонение, тем больше по модулю отклонение от стабильности в противоположном направлении.
Правило Маятника как метода обеспечения равновесия проявляется везде, где есть равновесие. Например, правило Ленца гласит, что индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать вызвавшей его причине.
Если маятник как метод обеспечения равновесия понятен, то со Степенным Законом и нормальным распределением дело гораздо сложнее. На первый взгляд кажется, что они взаимопротиворечивы.
Сущность равновесия проявляется именно в нормальном распределении: равновесие устойчиво при значительной средней массе, широкой части верхушки колокола и относительно небольших хвостах-крайностях. Если крайности растут, система выходит из равновесия, ее характеристики изменяются по Степенному Закону и наступает фазовый переход. Достигается новая стадия равновесия через серию маятников. И так бесконечно. Сама функция нормального распределения состоит из пологой широкой вершины и двух взаимообратных степенных функций.
