историко-научном уровне, где опять-таки тесно увязываются математические, философско-логические, психологические знания и подходы. (Это – наиболее общие, уже наши констатации и определения, которые еще будут конкретизированы.)
Далее, Гуссерль верно отмечает: «Символическое образование понятий включает сильную тенденцию наших способностей представления к идеализации» (2238–10). Почему и в каком смысле? Ответ Гуссерля: «Фактически мы не можем, двигаясь в бесконечность (in infinitum), образовывать требуемые повторения и выстраивать их в ряды: нам недостает времени и сил для постоянно обновляющейся духовной деятельности, как и знаков для различения её образований. Вследствие этого, мы можем идеализирующим образом абстрагироваться от этих ограниченностей наших способностей и также в этом отношении конципировать символические понятия… Ведь всякое новое образование множеств есть часть ранее образованных – и это имеет значение также в отношении их чисел. Множество мыслимых числовых спецификаций – как и многообразие мыслимых ступеней множеств (Mengenstufen) – бесконечно» (22311–22).
Казалось бы, связанность сознания прежними идеями относительно множеств и способов представливания (Vorstellen) множеств (Mengen), может только повредить делу тогда, когда речь идет о движении человеческой мысли к множествам бесконечного ряда. Но в действительности проблема, по Гуссерлю, решается иначе. «В символическом, но вполне определенном смысле мы можем говорить о числах там, где представления в собственном (eigertlichen) смысле отказывают нам, и на этой ступени мы даже в состоянии устанавливать идеальную бесконечность числовых рядов. И вместе с этим наше исследование ни в коей мере не заканчивается. Отдаленной символизацией, которой мы теперь достигли, мы не можем однако – при такой смутной всеобщности – воспользоваться для целей счета и расчета. Мы нуждаемся для этого в богатых содержанием символических образованиях, которые – и при острой обособленности истинных, но нам недоступных числовых понятий “в себе” – вполне способны быть их представителями» (22326–33)
Далее, на двадцати страницах XII главы Гуссерль затрагивает большое количество весьма конкретных проблем арифметики вообще, философии арифметики, в частности, которые он увязывает с тематикой «символизирования». Они имеют в высшей степени конкретный, специальный характер, почему считаю возможным не осуществлять столь же подробный, как прежде, текстологический разбор ФА, а ограничиться суммирующим перечнем и краткой проблемной характеристикой соответствующих подразделов главы.
«Бессистемные числовые символизации»
Проделаем, предлагает Гуссерль, мысленный эксперимент исходя из того, что число 10 было бы «последним представляемым числом» (2241). И в этом случае было бы возможно при счете не ограничиться множествами, которые исчерпывались бы цифрами до 10 единиц. Ибо было бы возможно создавать, скажем, символические числовые образования, как 10+5; 9+6+8, 7+10+5 и т. д. «Композиции знаков – наша опора (в оригинале – die Krücke, костыли. – Н. М.)» (22417–18). Далее, мы могли бы образовывать сочетания с помощью других знаков, т. е. символически, например: p=10+5, а дальше p+8=p' и потом p'+10=p, когда «всякое более позднее образование имело бы свой фундамент в более раннем» (2259–10). Но подобные способы бессистемного расширения числовых образований неплодотворны, ибо «была бы искажена (verfeht) главная цель всякого счета» (22536–37).
Естественные числовые ряды
Именно в силу практической неплодотворности бессистемных, произвольно, наугад порождаемых числовых образований мы нуждаемся, уверен Гуссерль, в «строго систематическом принципе создания числовых форм» (2262). Этот принцип должен быть однородным и однозначным, не допускающим произвольных, двойственных толкований. Процесс их образования тоже должен быть однозначным (22610–11).
И тогда удовлетворять этим требованиям сможет, по Гуссерлю, такое образование новых чисел, при котором совершается прибавление одной единицы к уже образованным числам. Так и возникает числовой ряд: 1; 2=1+1; 3=2+1; 4=3+1; …10=9+1. (См. 22623–30). И тогда очень несложно выйти за границы как бы предположенного ряда до 10 единиц. «Так мы обретаем дефиниции ряда числовых дефиниций, простирающихся в бесконечность, а через их посредство можем исчислять любое произвольное множество, посредством которого объем образования понятий и обозначений простирается достаточно далеко» (22639 – 2271–4). Мы добиваемся этого благодаря прочной «однозначности метода» (22710–11). Ибо с какого члена ряда мы бы ни начали и в каком бы направлении ни продвигались вперед, результат не изменится.
Гуссерлю важно подчеркнуть также, что возможность продолжения (die Fortzetbarkeit) подобных числовых рядов в бесконечность «ничем не ограничена» (22724–25). Правда, в такой практике есть (и видимо, были в реальной истории) свои сложности, например, отыскание всё новых обозначений. Но они так или иначе преодолевались преодолеваются.
12. Числовые системы
Гуссерль задает простой и логичный вопрос, ответ на который проливает свет и на суть, логику, на характер исторического процесса формирования числовых систем, и на интересующую его в этой главе проблему символизации как неотъемлемую сторону арифметических процедур. «На каком же пути мы должны воплотить в жизнь тот идеал числовых обозначений, который делает возможным практическое подчинение (нам) числовых сфер в возрастающем объеме; как найти прозрачный, простой принцип, позволяющий из немногих основополагающих знаков сконструировать такую числовую систему, которая определяла бы каждому определенному числу удобные легко различимые числовые знаки, одновременно четко выражающие их систематическое место в числовом ряду?» (22822–29).
На первый взгляд может показаться, рассуждает автор ФА, что речь тут идет лишь «о номенклатуре», т. е. обозначениях. Но трудности залегают намного глубже (22830–33). Дело не только в обозначениях, логично полагает Гуссерль. Оно упирается в нахождение основополагающих знаков (Grundzeichen). «Но и еще один угол зрения очень важен», (2291) – продолжает автор ФА. Мы установили, что по идее (der Idee nach) каждый числовой ряд может быть безгранично продолжен. «Ну хорошо (ganz wohl)», – соглашаясь, продолжает Гуссерль (2293). Но ведь в действительности возникает много осложнений. Дело упирается в нахождение «другого метода образования понятий» (22919), который был бы более объемлющим (umfassender) и по возможности более легким, операциональным.
Гуссерль и пытается «сконструировать» такой метод, отвечающий требованиям «число-образования и число-обозначения» (22931–33). Разобраться в том, что автор ФА предлагает на этих страницах своей книги, очень сложно, да это доступно и интересно скорее для узких специалистов, каковым я не являюсь и к которым вряд ли будут относиться возможные читатели моей книги. Во всяком случае, обращение к литературе вопроса не дало никаких результатов: страницы 230–244 ФА в известных мне сочинениях интерпретаторов не обсуждаются – видимо, по указанным выше причинам. Остается надеяться на будущее – на то, что узкий философско-математический смысл идей Гуссерля будет расшифрован на современном уровне.
Перейдем к окончанию XII главы, где Гуссерль – и это примечательно – включает в свое рассмотрение, до сих пор чисто философско-математическое, логико-математические (тесно связанные, впрочем, с коренными для математики вообще, для проблем числа,
