Читаем без скачивания Чего не знает современная наука - Сборник статей

«Кирпичиками», из которых складывается математическая модель, являются знакомые нам понятия, обычаи, предметы и т. п. Примем как аксиому, что любое явление «мира сего» можно представить как простую, или, как говорят математики, линейную, комбинацию из заданного набора известных понятий.

Теперь надо определить, что такое «мир иной». В нашей модели он понимается как все то, что невозможно представить как линейную комбинацию привычных понятий. Чтобы отличить «чужого» от «своего», надо записать анализируемое понятие линейной комбинацией «своих», и если это удастся – то следует признать это понятие «своим». Этот принцип, доведенный до математического решающего правила и алгоритма, позволяет создавать устройства, «узнающие своего» существенно лучше человека.

Приведем пример. Рассмотрим два вектора в пространстве – две стрелочки, выходящие из общей точки. По законам геометрии, они лежат в одной плоскости. Их линейная комбинация (то есть векторная сумма) обязательно лежит в той же плоскости. Вывести из этой плоскости может лишь результат такой их композиции, основанной на более сложных операциях с векторами. Эти операции должны внести в результат некую новую информацию, не содержащуюся в исходных векторах, – в частности, информацию о существовании направлений, выводящих из плоскости.

Подведем итог и сформулируем особенности рассмотренной выше математической модели в форме двух предложений: для построения новых понятий на основе привычных необходимо, во-первых, признать существование «мира Чужого» – мира, не укладывающегося в плоскость привычных понятий; а во-вторых, при объединении понятий нужно иметь в запасе нечто, позволяющее подняться над этой плоскостью.

Первое предложение достаточно понятно. Если мы не подозреваем об иных измерениях, а все события стараемся толковать только в терминах понятий мира «Нашего», то в результате, не видя всей ситуации в целом, остаемся «слишком плоскими» и попадаем в ситуацию с Мерлином, описанную в начале статьи, или удивляемся, почему американцы до сих пор не говорят по-русски, хотя уже столько москвичей приехали в Нью-Йорк.

Несколько сложнее со вторым предложением. По закону линейной комбинации, дракон – это всего лишь «сумма» змеи и крыльев, а кентавр – не более чем соединение лошади и человека. Более общий подход требует знания некоторых дополнительных сведений: например, того, что в Китае дракон – это повелитель пяти стихий, хранитель тайных богатств и знаний, он дышит огнем, летает в воздухе так же хорошо, как и плавает в воде, знает и тропы подземного мира. Это знание (а еще – воображение) позволят увидеть, что в этом сказочном существе заключена и тайна жизни, и дыхание океана, и блеск звезд, жар огня, наши мысли и стремления, любовь и смерть. И тогда дракон воспринимается как образ объединения всех символических стихий земли.

Такая возможность – не буквального, а образного восприятия слов – является, по-видимому, фундаментальным свойством нашего языка. По мысли известного математика В. В. Налимова, построившего вероятностную модель языка, каждое слово содержит в себе множество смыслов, и они раскрываются, «распаковываются» по мере того, как объединяются во фразы. Смысл каждой фразы, в свою очередь, зависит и от контекста, и от настроя слушателя, и благодаря этому возникает возможность передачи весьма ограниченным запасом слов бесконечности мира, взаимосвязи множества явлений. С математической точки зрения это означает, что обязательно существует связь («корреляция», говоря вероятностным языком) между миром известных понятий и непознанным.

Как проникнуть в этот мир? Как математические модели, так и примеры из мифологии свидетельствуют, что для этого необходимо ощущение пространства, находящегося за рамками наших привычек, дотянутся до которого можно путем аналогий, ассоциаций, выстраивания новых понятий – неожиданных и переворачивающих сознание, вопреки законам простой «линейной» логики. Иногда этому помогает судьба, проводящая нас через множество жизненных испытаний, в которых просто невыносимо оставаться в рамках прежних «плоских» понятий. И тогда через боль и страдания, через отказ от дорогого «привычного мирка» мы приходим к новым, более широким горизонтам. И тогда, свободные от рамок, мы с облегчением улыбаемся нашим прежним «плоским» представлениям, где в любом начальнике мы готовы узнавать короля Артура, а в иноплеменных вождях искать родные черты.

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Литература

Шукуров Ш. М. Чужое: опыты преодоления. Очерки из истории культуры Средиземноморья. – М.: Алетейа, 1999. – 384 с.

Налимов В. В. Спонтанность сознания: Вероятностная теория смыслов и смысловая архитектоника личности. – М.: Изд-во «Прометей», 1989. – 288 с.

Платоновы тела

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Человек всегда проявлял интерес к многогранникам. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? В XIII книге «Началах Эвклида», посвященной правильным многогранникам, или платоновым телам (Платон их рассматривает в диалоге «Тимей») мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое.

Очевидно, что каждая вершина многогранника может принадлежать трем и более граням. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника – равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла, помещенные на плоскость, дадут в сумме 180°. Если теперь согнуть эти углы по внутренним сторонам и склеить по внешним, получим многогранный угол тетраэдра – правильного многогранника, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Три правильных треугольника с общей вершиной называется разверткой вершины тетраэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° – мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° – эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3 x 90° = 270° – получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° – этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3 x 108° = 324° – вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3 x 120° = 360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Пять правильных многогранников или платоновых тел использовались и были известны задолго до времени Платона. Кейт Кричлоу в своей книге «Время остановилось» дает убедительное свидетельство тому, что они были известны людям неолита Британии, по крайней мере, за 1000 лет до Платона. Это заявление основывается на наличии ряда сферических камней, хранящихся в музее Ашмолина в Оксфорде. Эти камни, размеры которых соответствовали тому, что можно уместить в руке, были покрыты геометрически точными сферическими фигурами куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, также как и некоторые дополнительные сложносоставные и псевдоправильные тела, такие как кубо-октаэдр и ико-додекаэдр. Кричлоу говорит: «То что у нас есть, представляет собой объекты, несомненно указывающие на степень математических способностей, которые до сих пор отрицались в отношении человека неолита некоторыми археологами или историками математики».