содержащих всю их массу (что доказал еще сам сэр Исаак Ньютон). В этом случае неплохо работает очень простой, известный даже школьникам закон всемирного тяготения все того же Ньютона. Правда, он не идеально точен, общая теория относительности (ОТО) точнее описывает гравитацию, но в подавляющем большинстве случаев для астрономии это неважно.
Рис. 12. Различные силы, воздействующие на планету снаружи и изнутри
Еще более тонкий подход учитывает, что тела являются протяженными и что все их конкретные точки находятся на разных расстояниях от соседнего тела. Значит, в общем случае нельзя подставлять одно и то же расстояние между центрами тел (даже сферических!) в формулы Ньютона или Эйнштейна. Надо учитывать зависимость гравитационной силы от расстояния между центром влияющего тела и разными точками тела, испытывающего это влияние. Это уже второе приближение к истине, и называется оно теорией приливов. Приливы вообще штука интересная и очень важная, но пока мы говорим только о небесной механике, изучающей взаимодействие точечных масс.
Слабая сила
Кстати, у закона всемирного тяготения есть интересная особенность. Давайте посмотрим на запись закона Ньютона, связывающего силу притяжения F между двумя материальными точками, в которых сосредоточены массы M и m, разделенные расстоянием R:
F = GMm/R2.
Все эти величины связаны в формуле Ньютона коэффициентом пропорциональности G = 6,674·10–11 H·м2/кг2, называемым гравитационной постоянной. Если вы захотите проделать очень точные вычисления, то постараетесь найти значение G с большим количеством точных значащих цифр, но… не найдете. А ведь, например, заряд электрона e = –1,602176634·10–19 Кл физики измерили с точностью до 10-го знака. Огромная разница в количестве значащих цифр. Может быть, физики интересуются электричеством больше, чем гравитацией? Почему опыты с гравитацией у них так неточны? Да потому, что гравитация – очень слабая сила!
Значение G дано в знакомых нам единицах измерения (метры, килограммы, ньютоны). В быту мы используем килограмм-силы, который равен силе примерно в 10 Н. Если 100 г (столько весит полстакана воды) положить на ладонь – это будет сила тяжести в 1 Н. Чтобы почувствовать слабость гравитации, давайте сделаем простой расчет. Пусть каждый из вас весит 55 кг и вы сидите на расстоянии метра друг от друга. Подставляем эти значения в формулу и находим силу вашего взаимного гравитационного притяжения: F = 6,674 · 10–11 · 55 · 55/12 = 2 · 10–7 Н. Это около двух десятимиллионных от силы в 100 г, или примерно 0,02 мг.
Рис. 13. Взаимное притяжение двух материальных объектов мало, но вполне измеримо
Это притяжение друг к другу вы не ощущаете, хотя закон Ньютона говорит, что оно есть. То есть гравитация – самая слабая из всех природных сил, она практически неощутима. В таком случае почему же мы чувствуем, что нас притягивает к стулу? Очень малое значение гравитационной постоянной говорит о том, что только большие массы могут ощутимо воздействовать на соседей. Масса Земли очень велика, поэтому мы ощущаем притяжение к ней. А сидя рядом друг с другом, даже и не догадываемся о силе взаимной гравитации.
Малая точность измеренного значения G связана с тем, что в формулу Ньютона G входит вместе с M. Но откуда мы можем знать массу Земли – кто-то ее взвешивал? Земной шар на весы не положишь. Ускорение свободного падения a = F/m, а значит, и произведение GM мы можем измерить точно. Но чтобы отделить эти две величины друг от друга, надо действовать как-то иначе. Например, можно сначала взвесить тело на весах, а потом посмотреть, как оно притягивает соседей. Для этого английский физик Дж. Мичелл в 1793 г. придумал крутильные весы – очень чувствительный прибор. С его помощью в 1798 г. другой английский физик, г. Кавендиш, впервые измерил силу гравитационного притяжения двух лабораторных тел и определил значение гравитационной постоянной Ньютона.
Рис. 14. Принцип крутильных весов
Сначала в этой константе была уверенно измерена только одна значащая цифра, в XIX в. узнали вторую, в середине XX в. появился третий знак, а совсем недавно – четвертый. Пятый еще пока пытаются выяснить: даже при использовании самых лучших методов он у всех определяется по-разному, большей точности достичь не получается.
Круговая орбита
Зная значение коэффициента пропорциональности (G), легко найти массу Земли (M) по ускорению свободного падения и подсчитать, с какой скоростью надо запустить тело, чтобы оно вышло на низкую круговую орбиту вокруг Земли. Если тело движется по кругу, то надо приравнять центростремительное ускорение к ускорению, вызванному силой гравитации:
V2/R = GM/R2.
Из этого уравнения получаем выражение для скорости, которая называется первой космической (V1):
Важно подчеркнуть, что речь идет о круговом движении, поэтому скорость здесь – векторная величина, касательная к круговой орбите. То есть эту скорость надо сообщить спутнику не только по абсолютной величине, но и обязательно в нужном направлении. Например, если запустить космический аппарат с первой космической скоростью перпендикулярно к поверхности Земли, то он «подпрыгнет» и упадет обратно на планету.
Однако в телерепортаже мы видим, что с космодрома ракета стартует всегда вертикально вверх, а потом нам говорят, что она набрала первую космическую скорость и вышла на круговую орбиту вокруг Земли. Что бы было, если бы ракета набрала первую космическую в вертикальном направлении? Вышла бы она на круговую орбиту? Конечно, нет – она упала бы обратно.
Когда говорят о первой космической скорости, обычно имеют в виду полет спутника по низкой орбите, практически у границы атмосферы. Для Земли это высота 150–200 км от поверхности планеты, где уже почти нет воздуха. Там первая космическая составляет около 8 км/с. Но при удалении от Земли скорость движения по круговой орбите уменьшается обратно пропорционально корню из расстояния. Поэтому в общем случае эту скорость называют круговой (Vк) и определяют не только у поверхности планеты. В формулу входит расстояние до ее центра, поэтому всегда надо уточнять, где проходит орбита, и для разных расстояний вы получите разные значения круговой скорости.
Рис. 15. Зависимость формы орбиты от направления начальной скорости при ее модуле, равном круговой скорости
Если придали аппарату круговую скорость точно в направлении, перпендикулярном вектору расстояния от центра планеты, то он выйдет на круговую орбиту. Но если вы ошиблись с направлением, то получите вовсе не круг, а эллипс, хотя модуль скорости и был правильным! Это очень большая проблема для инженеров, которые планируют космические запуски:
