График исходного воздействия и реакций системы также представлен на рис. 11.2. Нетрудно заметить, что при р=3 система ведет себя как типичная апериодическая система — возникшее отклонение уменьшается без колебаний. Однако при наличии воздействия его колебательная компонента появляется в реакции системы — это видно и из аналитического решения для y(t) и из графика решения.
11.1.2. Система с малым демпфированием под внешним синусоидальным воздействием
Теперь слегка модернизируем представленный выше документ и зададим параметры p и q, соответствующие слабо демпфированной колебательной системе — рис. 11.3. Нетрудно заметить, что теперь характеристический полином имеет комплексные корни, что (для знающих теорию колебаний) указывает на колебательный характер поведения системы. Такие системы являются резонансными.
Рис. 11.3. Начало документа с примером моделирования резонансной системы с малым демпфированием при синусоидальном воздействии
Решение составленной системы представлено на рис. 11.4. Хотя мы рассматриваем достаточно простую систему, ее решение выглядит уже не слишком простым, хотя назвать его сложным было бы неверно. Решение, как при отсутствии внешнего воздействия, так и при его наличии, имеет члены с синусами и косинусами, что явно указывает на наличие периодических компонент решения.
Рис. 11.4. Конец документа с примером моделирования резонансной системы с малым демпфированием при синусоидальном воздействии
Но, пожалуй, в данном случае наиболее нагляден график решений. При отсутствии воздействия он представляет собой экспоненциально затухающее колебание. А вот при наличии воздействия поведение системы гораздо сложнее. Хорошо видно более резкое уменьшение амплитуды затухающих колебаний во время первых пяти периодов. Но затем колебания начинают нарастать и, в конце концов, они вырождаются в синусоидальное колебание с частотой воздействия, но с некоторым отставанием по фазе. Налицо признаки быстро затухающих биений с разностной частотой.
11.1.3. Слабо демпфированная система под воздействием треугольной формы
Можно ли получить аналитические решения данной задачи, если воздействие имеет более сложную форму, например, широко распространенных треугольных, пилообразных или прямоугольных импульсов? Ответ на этот вопрос таков — можно, если само воздействие описывается аналитически с применением элементарных или специальных функций.
Наглядным примером может служить анализ поведения системы при воздействии на нее треугольных колебаний. Как было уже показано, такие колебания легко получить, задав их функций arcsin(sin(x)). Это и показано на рис. 11.5.
Рис. 11.5. Начало документа с примером моделирования резонансной системы с малым демпфированием при треугольном воздействии
Конец документа рис. 11.5 представлен на рис. 11.6. Здесь, прежде всего, стоит обратить внимание на аналитическое решение задачи. Увы, но в Maple 9.5 назвать его простым язык уже не поворачивается, хотя решение занимает на экране всего две строки (нередки случаи, когда решение имеет десятки-сотни строк). Любопытно, что в решение входит даже определенный интеграл. А это указывает уже на то, что время вычислений может значительно возрасти из-за вычисления интеграла численными методами.
Рис. 11.6. Конец документа с примером моделирования резонансной системы с малым демпфированием при треугольном воздействии
Решение системы при отсутствии внешнего воздействия здесь не приводится, поскольку оно абсолютно идентично представленному на рис. 11.4. А вот график общего решения весьма показателен. Так, видно, что благодаря резонансу форма выходных колебаний остается синусоидальной. Но, гораздо сильнее, чем на рис. 11.4, видны биения с разностной частотой. Впрочем, что уже заметно и на рис. 11.6, они затухают, так что в стационарном режиме сигнал на выходе представляет собой синусоидальную функцию с частотой внешнего воздействия.
11.1.4. Слабо демпфированная система при произвольном воздействии
При произвольном воздействии ожидать возможности аналитического решения, скорее всего, уже не приходится. В качестве примера рассмотрим решение задачи на поведение резонансной системы при воздействии на нее прямоугольных импульсов. Чтобы упростить записи выражений будем считать импульсы нормированными, т. е. пусть их амплитуда будет равна π, длительность тоже равна π и период 2π. Такие импульсы можно задать, используя соотношение signum(sin(x)) и выполнив указанное выше нормирование. Это и показано на рис. 11.7.
Рис. 11.7. Представление входного сигнала рядом Фурье
К сожалению сформированный таким образом сигнал нельзя считать строго аналитическим, поскольку функция signum не относится ни к элементарным ни к специальным математическим функциям. А потому, желающие могут это легко проверить, такой сигнал не может стоять в правой части дифференциального уравнения, поскольку оно в этом случае аналитически не решается и просто повторяется в строке вывода.
Однако, подобный сигнал, как и множество других сигналов, может быть представлен своим разложением в ряд Фурье или просто синтезирован рядом гармоник, что и показано на рис. 11.7. В нем задано построение сигнала с числом гармоник N=3 и NN=10 и заданы коэффициенты ak и bk ряда Фурье. Заметим, что поставив после оператора od точку с запятой вместо двоеточия можно вывести значения этих коэффициентов.
Рисунок 11.8 показывает Фурье-синтез приближенного входного сигнала для 3 и 10 гармоник, а также построение сигнала вместе с идеальным (исходным) сигналом. Нетрудно заметить, что из-за эффекта Гиббса полученный сигнал (особенно при грех гармониках) довольно сильно отличается от идеального. Однако стоит не забывать, что резонансная система эффективно гасит все колебания, за исключением того, которое имеет частоту, близкую к резонансной частоте.
Рис. 11.8. Синтез приближенного сигнала и его сравнение с идеальным сигналом
Хотя временные зависимости сигнала, показанные на рис. 11.8 могут показаться сложными, на самом деле это всего лишь суммы синусоидальных колебаний кратной частоты. К тому же представлены только нечетные гармоники. Но главное — этот сигнал уже имеет аналитическое представление и его можно использовать в правой части дифференциального уравнения. Это и показано на рис. 11.9, где заданы дифференциальные уравнения для рассмотренных выше случаев.
Рис. 11.9. Составление дифференциального уравнения второго порядка и задание начальных условий
Теперь остается решить представленные дифференциальные уравнения получить графики полученных решений, представленные на рис. 11.10. В данном случае частоты сигнала и собственных колебании системы заметно различаются и выходной сигнал системы представляет собой, в основном, выделенную вторую гармонику воздействия.
Рис. 11.10. Решение дифференциальных уравнений и его визуализация
Разумеется, представленный вариант анализа носит частный характер, поскольку синтезируется вполне конкретный вид сигнала — прямоугольные импульсы с заданными выше параметрами. Однако, если использовать разложение в ряд Фурье произвольного воздействия, то подобным способом можно решить задачу получения реакции колебательной (а, в принципе, любой линейной) системы на заданное воздействие.
11.1.5. Улучшенное моделирование свободных колебаний
Вернемся к задаче моделирования системы второго порядка и попытаемся найти решения в более удобном виде, обычно приводимом в учебниках после ряда преобразований. Для этого достаточно воспользоваться пакетом расширения DEtools. Рис. 11.11 показывает начало документа с составленным дифференциальным уравнением и его решением. Нетрудно заметить, что теперь решение представлено в классическом виде, который обычно приводится в учебниках по теории колебаний.
Рис. 11.11. Решение дифференциального уравнения свободных колебаний с применением пакета DEtools
На рис. 11.12 показана вторая часть документа с решением для конкретных данных и построением графика временной зависимости свободных колебаний. Нетрудно заметить, что свободные колебания системы имеют вид затухающих синусоидальных колебаний. Вы можете проверить, что при р<0 колебания будут нарастать по экспоненциальному закону, что характерно для генераторных систем.
