12. Точнее, это есть произведение постоянной Планка и абсолютной величины коммутатора двух величин, деленной пополам.
13. Специальная теория относительности утверждает, что покоящееся тело массой m0обладает энергией Е = m0c2. В более общем случае, тело, движущееся со скоростью v (β = v/с, γ = (1 — β2)-1/2), переносит энергию Е = γт0с2. Массу т0 иногда называют инвариантной массой (т. е. не зависящей от системы отсчета). Это название связано с тем, что согласно законам преобразования специальной теории относительности соотношение
Е2 — р2с2 = (m0)2с4
одинаково в любой системе отсчета. Заметим, что для того, чтобы породить тело массой то, необходимо затратить энергию, по меньшей мере равную m0c2. Обратим внимание также на то, что когда масса тела мала по сравнению с его энергией (на самом деле, с энергией, деленной на с2), энергия и импульс связаны приближенным соотношением Е = рс. Именно поэтому при высокой энергии импульс и энергия взаимозаменяемы.
14. Уравнения Максвелла в системе СГСЭ имеют вид:
div Е = 4πρ,
rot E = — 1/c * ϐB/ϐt
div В = 0,
rot H = 4π/c * j + 1/c * ϐE/ϐt
где Е — электрическое поле, В — магнитное поле, ρ — плотность заряда, j — плотность тока. Это дифференциальные уравнения первого порядка; комбинируя два их них, можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка, включающее только электрическое или только магнитное поле. Это уравнение принимает вид волнового уравнения, т. е. его решения есть синусоидальные волны[188].
15. На самом деле, согласно основополагающим принципам специальной теории относительности, может быть и четвертая поляризация, которая соответствует колебаниям во временном измерении. Но она тоже не существует, и та же внутренняя симметрия, которая устраняет третью (продольную) поляризацию, устраняет и «временную поляризацию». Так как эти вопросы не играют роли в обсуждении в этой и последующей главах, мы не будем их далее рассматривать.
16. На самом деле истинные симметрии, связанные со всеми взаимодействиями, более тонки и поворачивают поля, являющиеся комплексными величинами, превращая их друг в друга. Симметрии не только меняют поля местами, они превращают одно поле в линейную суперпозицию других полей. Взаимодействие, связанное с электромагнетизмом, поворачивает одно комплексное поле, в то время как слабое взаимодействие вращает два комплексных поля, превращая их друг в друга, а сильное взаимодействие вращает три поля.
17. Чтобы модель Хиггса заработала, нужно сделать так, чтобы по крайней мере одно из хиггсовских полей приняло ненулевое значение. Это станет возможным, если возникнет конфигурация с минимальной энергией, в которой значение по крайней мере одного из хиггсовских полей не равно нулю. Один из способов сделать это продемонстрирован на рис. М2, на котором показан так называемый потенциал «Мексиканская шляпа», т. е. график энергии, которую примет система для любой комбинации значений двух хиггсовских полей, причем две нижние оси являются абсолютными значениями двух хиггсовских полей, а высота трехмерной поверхности представляет энергию данной конкретной конфигурации. Этот конкретный потенциал имеет вид
λ(│H1│ + │H2│ — v2 )2 ,
где λ определяет то, как искривлен потенциал, а V определяет значение, которое принимает │H1│ + │H2│ в точке минимума потенциала. Ключевое свойство этого потенциала заключается в том, что когда оба поля имеют равные нулю значения, это соответствует локальному максимуму. Поэтому энергетические соображения говорят, что оба хиггсовских поля не могут быть равными нулю. Напротив, они примут такие значения, которые поместят их на дно круговой чаши, окружающей начало координат.
18. Более точный способ описания симметрии слабого взаимодействия состоит в том, чтобы сказать, что она вращает поля, а не меняет их местами.
19. Это действительно упрощает нарушение симметрии. Даже, если х и у оба не равны нулю, например, если х и у равны 5, вращательная симметрия будет нарушена, так как выбрано конкретное направление, указывающее направление от точки x = 0, у = 0 к точке x = 5, у — 5. Аналогичная «вращательная» симметрия применима к полям хиггс1 и хиггс2, но я упростила рассмотрение и рассматриваю симметрию просто как обменную. В действительности, даже если оба хиггсовских поля примут одинаковые значения, симметрия слабого взаимодействия будет нарушена, во многом аналогично тому, как точка х = 5, у = 5 спонтанно нарушает вращательную симметрию.
20. Хотя построение этой модели начинается с двух комплексных хиггсовских полей, в конечном итоге остается одна хиггсовская частица. Это происходит потому, что три остальных (действительных) поля становятся тремя дополнительными полями, требуемыми для того, чтобы превратить три безмассовых частицы с двумя физическими поляризациями в массивные частицы с тремя поляризациями. Три хиггсовских поля становятся третьими поляризациями трех тяжелых слабых калибровочных бозонов — двух W и Z. Четвертое оставшееся хиггсовское поле должно рождать истинные физические хиггсовские частицы. Если такая модель верна, эти частицы должны родиться на БАК.
21. Интенсивность каждого взаимодействия определяется численным коэффициентом (константой взаимодействия). Вычисления методом ренормализационной группы показывают, что значения этих констант логарифмически меняются с энергией.
22. В то время как симметрия слабого взаимодействия смешивает пары полей, а симметрия сильного взаимодействия смешивает три поля, группа симметрии теории Великого объединения Джорджи — Глэшоу смешивает пять полей. Некоторые преобразования симметрии, связанные с взаимодействиями ТВО, совпадают с преобразованиями слабой и сильной симметрии. Взаимодействия объединяются, так как одна единственная группа преобразований симметрии включает все преобразования симметрии Стандартной модели.
23. Эта связь с пространством и временем становится на самом деле более явной, если последовательно совершаются два преобразования суперсимметрии, сначала в одном порядке, а затем в другом, после чего один результат вычитается из другого. В этом случае фермионы остаются фермионами, а бозоны бозонами, но система совершает движение; окончательный результат преобразования в точности тот же, как и обычное преобразование пространства-времени. Коммутатор двух суперсимметричных преобразований, осуществляющий точно ту же операцию, как и единственное преобразование пространственно-временной симметрии, убедительно демонстрирует, что преобразования суперсимметрии должны быть связаны с симметриями, которые действуют на пространство и время и передвигают вещи.
24. Траектория частицы — это мировая линия, определяющая положение частицы как функцию времени. Траектория струны — это поверхность, описывающая положение всей струны в процессе ее движения во времени. Мировая поверхность представляет движение открытой струны, а мировая трубка представляет движение замкнутой струны.
Это показано на рис. М3, где иллюстрируется движение во времени и «более мягкие» взаимодействия струн.
25. Натяжение струны не всегда так велико, как можно подумать, зная значение планковского масштаба энергии. Оно зависит от того, насколько сильно взаимодействуют струны. Джо Ликкен и др. рассматривали возможность, что оно намного меньше, и в этом случае дополнительные частицы в теории струн могли бы быть намного легче.
26. На самом деле, согласно принципу дуальности, о котором шла речь в этой главе, даже пробные частицы, используемые для изучения данной версии теории струн, изменяют свой характер, когда связь становится сильной. Так, если Икар действительно был частью струнного мира, он также изменился бы.
27. Они могут простираться и в нулевом измерении, тогда они являются новыми типами частиц, которые называются D0-бранами, а также в одном измерении, и тогда возникают новые типы струн, называемые D1 — бранами.
28. Браны не обязательно взаимодействуют посредством обычных зарядов. Они взаимодействуют посредством многомерных обобщенных зарядов.
29. На самом деле симметрия вращает браны, переводя их друг в друга, но это находится за рамками технического уровня этой книги.
