Заиграла музыка.
Первый пекарь снял с палки верхнее кольцо и ловко метнул. Кольцо очертило в воздухе плавную дугу и угодило на пустую палку третьего пекаря. Вслед за первым кольцом туда же полетело второе. То же самое сделал другой пекарь, и вот уже у третьего пекаря на палке все пять колец, а первые два пекаря остались ни с чем.
Потом жонглеры перестроились. Теперь у одного на палке было три кольца, у другого — шесть, у третьего опять ничего. Снова заиграла музыка, замелькали кольца. И опять у третьего пекаря на палке — девять бубликов, а у других — ничего.
— Чистая работа, — сказал Дэ, — ни одно колечко не упало.
— Работа-то чистая, но при чем здесь умножение степеней? — спросил я. — Не понимаю.
— А я понимаю, — похвасталась Таня. — При перемножении степеней показатели надо складывать: с3 × с6 = с3 + 6 = с9.
— Совершенно правильно, — подтвердил Дэ. — Число колец на палке обозначает показатель степени.
— Пусть, — сказал я, — а мне все равно непонятно.
— Поглядите на поле, — предложил Дэ, — тогда уж обязательно поймете.
Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого — шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения — точка. И тут на поле выбежали еще девять Цэ. У этих на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:
На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, — это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.
Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке — числитель, на нижнюю — жонглер с двумя кольцами — знаменатель.
Снова заиграла музыка, и, можешь себе представить, пекари стали снимать с палок кольца и с аппетитом их есть. Оказалось, это и впрямь самые настоящие бублики. И очень вкусные. С маком. Нас потом угостили.
Так вот, Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель — один, числитель — один, и знаменатель — один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.
А Цэ-числитель — у него на палке еще болтался один бублик — продолжал стоять наверху как ни в чем не бывало.
— Ясно, — сказал Олег. — Деление — действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.
— Верно! — поддержала Таня. — Из трех бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе — Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.
— Первая степень не пишется, — вспомнил я. — Стало быть, просто Цэ:
— Вот вам и частное от деления двух степеней, — пояснил Дэ. — Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.
Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ — знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ — знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.
— Видите, — сказал Дэ, — частное от деления равно единице, деленной на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.
— Позвольте, — вмешался Олег, — при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так: с2/с3 = с2 — 3 = с-1.
— Ой! — испугалась Таня. — У тебя получилась отрицательная степень!
— Вполне законно, — возразил Дэ. — Одна цэтая — это то же самое, что Цэ в минус первой степени.
Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:
с-1 = (1/с)1 = 1/с
с-2 = (1/с)2 = 1/с2
с-3 = (1/с)3 = 1/с3
и так далее.
Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень — все равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:
5-2 = (1/5)2 = 1/25
Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел все наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведенная в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:
(1000)-3 = (1/1000)3 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.
Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.
— Вот так фокус! — не удержался я.
— Ну, что вы! — скромно сказал Дэ. — Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, деленная на единицу.
— Или просто единица, — добавила Таня.
— Уж конечно! — ввернул я. — Подумаешь, открытие! Всякое число, деленное само на себя, равно единице. Двадцать, деленное на двадцать, равно единице; тридцать, деленное на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, деленное на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.
— Ты думаешь? — возразил Олег. — А по-моему, стоит.
— Отчего же?
— Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.
— Да ну?! Как это ты догадался?
— Очень просто: c3: c3 = 1, но с3: с3 = c3 — 3 = с0.
Следовательно: с0 = 1.
Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.
Пекари — жонглеры убежали. А вместо них на поле вышли… Нет, нипочем тебе не догадаться кто! На поле вышли Черные Маски. Мы-то думали, что Черная Маска одна, а появилась целая армия. Во всяком случае, никак не меньше ста. И тут меня что-то кольнуло. Это проснулся в кармане талисман, о котором мы, сказать по чести, совсем забыли. Уж не хочет ли он намекнуть, что и наша Черная Маска тоже здесь? Но как ее найдешь? Ведь все они похожи друг на друга как две капли воды… вернее, как две капли чернил. Добро бы еще здесь был Пончик. Но он, как назло, куда-то запропал.
Только я это подумал, как по рядам вихрем пронеслось что-то белое, мохнатое. Зрители шарахнулись. Секунда — и Пончик врезался в самую гущу растерявшихся артистов. Тут один из них как побежит! А Пончик — за ним!
— Держите, держите! — заорал я и помчался следом. Таня и Олег — за мной.
Что было! Все перепугались, вскочили. У выходов началась давка. Не знаю, что бы мы делали без стручка. Он снова выскользнул из моего кармана и полетел впереди, указывая дорогу. Скоро мы очутились у совершенно свободного запасного выхода, а там и на улице.
Я хотел спрятать стручок, а он все летел, летел, пока не привел нас к какому-то красивому зданию.
У широких стеклянных дверей сидел Пончик. Он тяжело дышал и смотрел на нас виноватыми мокрыми глазами. А над дверьми поблескивала большая треугольная вывеска: «Абракадабра». Чувствуешь?
Сева.
Лично Севе от Нулика
Уважаемый радиокомментатор! Большое Вам спасибо за репортаж. Если бы не подпись в конце, я бы ни за что не догадался, что он невзаправдашний.
А сейчас послушайте мой радиорепортаж.
Наша школа выросла. Теперь в ней учатся не только Нулики, но и другие карликанские малыши-цифры. Им очень понравилась алгебраическая гимнастика. Но так как букв у нас нет, решили проделать ее с цифрами.
Пять Двоек взяли четыре знака сложения и поставили их между собой: 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
Потом четыре Двойки убежали. Осталась одна, а около нее встал коэффициент Пять: 52.
Тогда взрослые карликане подняли нас на смех. У вас, говорят, получилось пятьдесят два, а вовсе не пять Двоек. Чтобы правильно сделать приведение подобных, надо между Пятеркой и Двойкой поставить знак умножения. Тут вам, говорят, не Аль-Джебра, да и вы, говорят, не буквы, а числа.
Выходит: если рядом стоят две цифры — это двузначное число; если же рядом стоят две буквы — это их произведение. Я решил все проверить на практике.
Потом я спросил, как написать буквами двузначное число? Оказывается, очень просто: 10а + b.
Здесь а показывает число десятков, b — число единиц. Я сейчас же записал 52 алгебраическим способом: 10 × 5 + 2 = 52.
Тут нам пришлось прекратить занятия, потому что прибежала одна Единичка. Она горько плакала. Ей ужасно хотелось стать коэффициентом при какой-нибудь букве. А мама ей сказала, что коэффициент Единица никогда не пишется, а только подразумевается. А эта Единичка подразумеваться не хотела.
