* * *
Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».
На этом утверждении также основано первое четкое и непротиворечивое определение предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815–1897), которое стало важной вехой в истории математики.
Метод Евдокса для вычисления площадей и объемов, основанный на этом утверждении, известен как метод исчерпывания. Неудивительно, что многие историки считают основание школы Платона моментом рождения греческой математики, так как Евдокс заложил основы нового раздела математики, который много веков спустя стал называться анализом бесконечно малых.
Метод исчерпывания позволял получить верные доказательства, если его предпосылки были верны (так было в большинстве случаев), но обладал определенным недостатком: с его помощью нельзя было получить новые результаты. Напомним, что в этом методе результат считался истинным и рассматривались возможные способы, которыми можно было прийти к этому результату. Например, было известно, что формулы объема конуса и пирамиды, доказанные Евдоксом, были получены математиками прошлого, в частности Демокритом, без каких-либо выводов или доказательств.
В настоящее время нам известен метод интегрирования, позволяющий произвести необходимые вычисления по четко определенному алгоритму. Это означает, что необходимые расчеты может произвести машина. В основе этого метода лежит сформулированная древнегреческими математиками идея, тесно связанная с аппроксимацией площади фигуры с помощью прямоугольников, о чем мы говорили выше (в некотором роде метод исчерпывания схож с современным методом суммирования по Риману).
Этот метод заключается в построении ряда прямоугольников, высота которых не превосходит высоту кривой, иными словами, прямоугольников, нижнее основание которых располагается на оси, а верхнее — под искомой кривой.
Сумма площадей всех прямоугольников, построенных по этому методу, будет очевидно меньше, чем площадь искомой фигуры. С увеличением числа прямоугольников их общая площадь будет все ближе к значению площади фигуры, ограниченной кривой. Это же построение можно повторить так, чтобы верхние основания прямоугольников находились над кривой.
* * *
ИНТЕГРИРОВАНИЕ «ОТ РУКИ»
Существует простое механическое устройство — интегратор, позволяющий автоматически вычислять площадь, ограниченную плоской непрерывной кривой. Оно напоминает устройства, используемые для измерения расстояний на картах, и состоит из небольшого колеса и счетчика числа оборотов, который указывает расстояние, пройденное колесом при перемещении по карте, например вдоль автомагистрали. Механический интегратор имеет схожий принцип действия. Если обвести интегратором замкнутую фигуру, ограниченную кривой, по контуру, счетчик укажет площадь этой фигуры. Это устройство используется при проектировании форм и образцов, так как позволяет определить, сколько материала потребуется для изготовления изделий.
* * *
Так мы гарантируем, что сумма площадей прямоугольников будет больше искомой площади. Теперь мы снова можем увеличить число прямоугольников, и сумма их площадей вновь будет приближаться к искомой, на этот раз сверху. Мы получим две последовательности площадей, приближающихся к искомой площади снизу и сверху соответственно. Так в схематичном и упрощенном виде происходит вычисление площадей. Похожий метод используется и для вычисления объемов.
Результаты сравниваются со значением, которое, как предполагается, должна иметь данная величина (напомним, что метод исчерпывания используется для проверки уже известного результата). С помощью оценок данной величины сверху и снизу мы подтверждаем, что если эти оценки превосходят искомую величину, это приводит к противоречию. Позднее, в XVII веке, этот метод получил название «апагогия», или «доведение до абсурда».
В любом случае в методе неизбежно рассматривается актуальная бесконечность, для чего в современном анализе выполняется переход к пределу. Если бы древние греки применили этот подход при решении этой и других схожих задач, то добились бы потрясающих результатов.
КеплерКеплер был одним из первых математиков Возрождения, который занялся вычислением объемов, причем не совсем в обычных обстоятельствах: впервые он обратил внимание на эту задачу в тот самый день, когда сочетался вторым браком с Сюзанной Рейтингер (его первая жена скончалась годом ранее). Это был брак по расчету, так как Кеплер искал женщину, которая позаботилась бы о нем и его детях и вела быдомашнее хозяйство. Сюзанна, должно быть, понимала, насколько необычным характером отличался ее будущий муж, поскольку она не удивилась, когда он покинул свадебное торжество, чтобы подробно изучить, как трактирщик измеряет объем вина в бочках. Бочки не имели строго цилиндрическую форму, и объем измерялся с помощью мерного стержня, который опускался в них через отверстие в крышке.
Определив таким образом уровень вина в бочке, трактирщик узнавал, сколько его осталось. Результатом размышлений Кеплера стал вышедший в 1615 году трактат под названием «Новая стереометрия винных бочек». Для решения задачи Кеплер использовал метод неделимых, разработанный Архимедом. Можно сказать, что из задачи об объеме бочки вина впоследствии родился анализ бесконечно малых. Тем не менее следует отметить, что труды Кеплера в этой области носили скорее практический, чем теоретический характер, и в этом смысле их можно считать отчасти неполными. Например, для вычисления площади круга он рассматривал сумму площадей бесконечного числа треугольников, вершины которых совпадали с центром круга, а основания располагались на окружности. Аналогично для вычисления объема сферы он рассчитывал сумму объемов конусов, вершины которых совпадали с центром сферы, а основания находились на ее поверхности. С помощью этого метода Кеплер пришел к выводу, что объем сферы равен одной трети произведения ее радиуса на площадь поверхности. Корректность всех этих операций Кеплер обосновывал принципом непрерывности, который при использовании его метода вычисления объемов следовало принять за истину.
* * *
БОЧКИ КЕПЛЕРА
Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объема жидкости, заключенной в сосуде определенной формы. Когда цистерна с бензином приезжает на автозаправку, оператор обычно опускает в нее длинный металлический стержень для измерения уровня жидкости в емкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть нанесены в зависимости от формы цистерны. Как правило, она имеет форму цилиндра, основания которого являются полусферами или параболоидами вращения. В некоторых аэропортах можно встретить цистерны такой же формы с керосином.
* * *
Галилей
Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.
Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.
Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636) и график, описывающий свободное падение тел.
