Выше было показано, что два неподвижных заряда взаимодействуют с силой F= kc2Sm. Теория Ритца предсказывает изменение этой силы при сближении зарядов. Если один заряд движется, закон Кулона оказывается не вполне точен, что связано с конечной скоростью света, реонов, переносящих электрическое воздействие. В самом деле, пусть электрон, испускающий реоны, покоится, а другой движется ему навстречу со скоростью v. В таком случае скорость потока V, с которой реоны ударяются об электрон, согласно классической механике, будет равна уже не c, но V=c΄=c+v. Соответственно вырастет и импульс, передаваемый реонами электрону и частота их ударов, а, в конечном счёте, и сила отталкивания одного электрона другим. Из-за увеличения скорости V встречного потока реонов от c до c΄=c+v получим F= k(c+v)2Sm. Сила вырастет по сравнению с той, что испытывали бы покоящиеся заряды на том же удалении. Напротив, расхождение зарядов уменьшит эту силу. Именно это небольшое изменение силы электростатического взаимодействия и воспринимается нами как магнитное воздействие. Причину этих изменений поясняет баллистическая модель: броневик, расстреливающий неподвижную мишень, увеличивает свою огневую мощь, когда быстро едет навстречу цели (Рис. 12). Ведь при движении к мишени растёт частота ударов и скорость пуль, а значит и сила ударов по мишени: пули барабанят по мишени чаще и сильнее. Ещё заметней будет эффект для пулемёта, установленного на самолёте, скорость которого уже сравнима со скоростью пуль.
Рис. 12. Подобно огневой силе движущегося броневика, повышена сила F взаимодействия сближающихся со скоростью v зарядов за счёт выросшей скорости c'=c+v и частоты ударов реонов R.
Далее рассмотрим заряженную нить и возле неё в т. O заряд q. Сила отталкивания заряда от нити
F= qτ/2πε0r,
где τ — линейная плотность заряда нити, r — расстояние от заряда до нити, а ε0 — электрическая постоянная. Сила же взаимодействия заряда с малым участком нити M длиной dl, имеющим заряд τdl, даётся законом Кулона
F = qτdl/4πε0OM2.
Перпендикулярная нити составляющая этой силы выразится через углы φ и dφ как
Fу= qτcos(φ)dφ/4πε0r (Рис. 13).
Найдём, как изменится сила при движении заряда параллельно нити со скоростью v. По отношению к движущемуся заряду встречные реоны будут иметь скорость c΄ отличную от c за счёт векторного вычитания из c скорости v заряда. И направлена скорость c΄ реонов будет уже не вдоль MO, а вдоль M΄O (ту же природу имеет звёздная аберрация — отклонение световых лучей, вызванное движением Земли, § 1.9). Из треугольника скоростей OMM΄:
c΄= [c2+v2–2cvsin(φ)]1/2
или, разлагая в ряд и считая v/c малым, получим
c΄≈ с[1–sin(φ)v/c+(v/c)2cos2(φ)/2].
Соответственно меняется и сила:
F΄=F(c΄/c)2.
Но, поскольку сила меняет и направление (F΄ действует вдоль c΄), то интересующая нас составляющая Fу изменится в несколько меньшей степени:
Fу΄= Fу(c΄/c) = [1–sin(φ)v/c+ (v/c)2cos2(φ)/2]cos(φ)dφqτ/4πε0r.
Остаётся найти суммарную силу воздействия на заряд со стороны всех элементов нити, проинтегрировав Fу΄ в пределах φ от — π/2 до +π/2. В итоге, полная сила
Fу΄= (1+v2/3c2)qτ/2πε0r= qτ/2πε0r+v2qτ/6πε0rc2.
Первое слагаемое — это сила взаимодействия нити с покоящимся зарядом, а второе — это прибавка к ней, возникшая за счёт движения. Итак, движение заряда со скоростью v вдоль нити вызывает рост силы отталкивания (или притяжения) на величину v2qτ/6πε0rc2.
Рис. 13. Проекция F'y силы отталкивания заряда элементом длины dl бесконечной заряженной нити меняется при движении заряда пропорционально скорости c' реонов относительно него.
Этот результат имеет весьма важные последствия. Рассмотрим два параллельных проводника с сонаправленными токами. Поскольку ток в металле создаётся движением электронов, заменим каждый проводник движущейся отрицательно заряженной нитью (Рис. 14). У первой нити линейная плотность заряда — τ1 и скорость v1 (в проекции на ось x), а у второй, соответственно, — τ2 и v2. В целом каждый проводник нейтрален, поэтому добавим неподвижные положительно заряженные нити +τ1 и +τ2 (они соответствуют положительным и неподвижным ионам металла).
Рис. 14.Представление проводников с током (а) комбинациями из пар заряженных нитей (б) позволяет выразить амперову силу их притяжения как сумму сил электрического взаимодействия нитей.
Найдём, с какой электрической силой Fэл первый проводник (нити +τ1 и —τ1) действует на малый элемент длины l второго проводника (нити +τ2 и —τ2). Искомая сила Fэл складывается из четырёх сил:
1) F1 — воздействие неподвижной нити +τ1 на неподвижный заряд +τ2l;
2) F2 — воздействие неподвижной нити +τ1 на движущийся заряд —τ2l;
3) F3 — воздействие движущейся нити —τ1 на неподвижный заряд +τ2l;
4) F4 — воздействие движущейся нити —τ1 на движущийся заряд —τ2l.
Скорость заряда q= τ2l относительно соответствующей нити равна для случая
1) нулю, и потому сила отталкивания F1= τ1τ2l/2πε0r (по формуле Fу΄);
2) v2, и сила притяжения F2= τ1τ2l/2πε0r+ v22τ1τ2l/6πε0rc2;
3) v1, и сила притяжения F3= τ1τ2l/2πε0r+ v12τ1τ2l/6πε0rc2;
4) (v1 — v2), и сила отталкивания F4= τ1τ2l/2πε0r+ (v1— v2)2τ1τ2l/6πε0rc2.
Рис. 15. Вызванное движением зарядов изменение электростатической силы ведёт к появлению магнитной силы их взаимодействия.
Результирующая сила притяжения
Fэл= F2+F3—F1—F4= v1v2τ1τ2l/3πε0rc2.
Таким образом, если в отсутствие токов Fэл=0, то при движении зарядов в проводниках нарушает баланс сил взаимодействия, силы перестают компенсировать друг друга. В результате проводники с током притягиваются с силой Fэл, или же отталкиваются, если токи направлены в разные стороны (v1v2 отрицательно). Величина v1τ1 есть ни что иное, как сила тока I1 в первом проводнике, а v2τ2 — сила тока I2 во втором. Учитывая это и применяя известное соотношение 1/c2= ε0μ0, получим
Fэл= μ0I1I2l/2πr.
Но ведь похоже описывает взаимодействие параллельных токов и закон Ампера
FА= μ0I1I2l/2πr,
дающий, правда, величину силы в полтора раза большую (Рис. 15). То есть, магнитная сила имеет электрическую природу: проводники с током притягиваются, либо отталкиваются электрической силой равной силе Ампера с точностью до коэффициента 1,5. Эта разница коэффициентов вызвана тем, что в опыте измеряют воздействие не элементов тока, а замкнутых проводников, и более точный расчёт, возможно, устранит эту небольшую разницу. К тому же, до сих пор точно не измерено отношение электрических и магнитных единиц, равное произведению скорости света на корень коэффициента в формуле Ампера [60]. Отметим, что сам Максвелл, измерив это отношение, получил, что оно не равно c = 3·108 м/с, а, вопреки его теории, составляет в среднем 2,45·108 м/с [152]. Это говорит в пользу коэффициента 1,5 = (3·108/2,45·108)2.
