Принципиальным понятием в классической механике является материальная точка. Изменение ее состояния определяется вторым законом Ньютона, а само состояние полностью характеризуется шестью числами. Три числа задают координаты точки и три – ее скорость. При этом большинство рассматриваемых объектов было таково, что преобразование
+t,
где некоторая постоянная скорость, не меняет хода процессов в них (математики говорят, что законы механики инвариантны относительно группы преобразований Галилея). При получении многих фундаментальных результатов естествознания, начиная с описания траекторий планет, традиционным предположением было допущение о несущественности диссипативных процессов, связанных с рассеиванием энергии. К ним относятся теплопроводность, трение, вязкость. Эти представления вошли в кровь и плоть современной науки и техники. В особенности, предположение о возможности описать объект с помощью конечного набора чисел (математики называют это гипотезой о конечномерности фазового пространства). Действительно, трудно представить себе, что, познавая мир, человек вынужден иметь дело с бесконечным набором параметров. Каковы эти числа и откуда они берутся, также на заре классической механики было понято.
Однако уже Лапласом для описания реальности было введено новое фундаментальное понятие – сплошная среда. Это понятие является ключевым при описании процессов, которые развертываются не только во времени, но и в пространстве. При этом приходится считать, что для описания состояния каждой точки нужно знать несколько чисел.
В жидкости, например – пять, характеризующих давление, температуру и три компоненты скорости. Если в вакууме распространяется электромагнитная волна, то нужно 6 чисел, три определяют электрическое поле и три магнитное, и т.д. Объекты такого типа принято называть распределенными в отличие от сосредоточенных, состояние которых характеризует конечный набор чисел. Для описания таких систем Лапласом был предложен новый класс математических моделей – уравнения в частных производных. С помощью этого языка сформулированы выдающиеся достижения нашей цивилизации – уравнения гидродинамики, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера.
Распределенные системы или сплошные среды являются одним из наиболее сложных и интересных объектов современного естествознания. Представление о сложности процессов, которые могут иметь место в таких системах, дают картины течений жидкости (см. рис.11). Обратим внимание на причудливую геометрию наблюдаемого явления, на спонтанно возникающую упорядоченность, структуры. С более глубоким пониманием пространственно-временных процессов связан ряд высоких технологий и многие фундаментальные научные проблемы. Более глубокое понимание нерегулярных, турбулентных течений жидкости открыло бы дорогу к более быстрым и экономичным кораблям и самолетам. Совершенствование компьютеров и огромного большинства электронных систем неразрывно связано с технологией создания структур на микроуровне. Наконец, переход с молекулярного уровня на клеточный, на котором, вероятно, ждут разгадки многих тайн живого, связан с анализом не только временной, но и пространственной организации в сложной химической машине, каковой является клетка. И это только начало огромного списка. В этом списке есть и проблемы, непосредственно касающиеся будущего человечества. К уравнениям в частных производных, описывающим распределенные системы, относится ряд математических моделей демографии, социологии, экономической географии, науковедения. Их начали применять при описании исторических процессов.
.
Рис. 11. Во многих течениях возникают различные типы упорядоченности: a – вихревая дорожка Кармана, появляющаяся при обтекании кругового цилиндра; б – конвективные валики, наблюдаемые в подогретом снизу слое жидкости; в – неустойчивость Бенара, приводящая к образованию шестигранных ячеек [28].
Большинство этих моделей нелинейны. Формально это означает, что исследуемые уравнения содержат нелинейные функции (линейные функции y=ax, z=ax+by и т.д., нелинейные y=sin x, y=ax2, z=+by, где a и b всюду некоторые числа). Для них несправедлив принцип суперпозиции (наложения), позволяющий "сшивать" решение более сложной задачи из решений более простых задач. Эти уравнения описывает ситуацию, в которой изменение внешних воздействий в k раз, в отличие от линейных, не приведет к пропорциональному отклику объекта. По существу, нелинейность означает огромное разнообразие поведения и богатство возможностей, – пороговые эффекты, неединственность решений, существование хаотических траекторий, парадоксальный "антиинтуитивный" отклик при изменении внешних воздействий.
Мы имеем счастье жить в сложном и удивительном нелинейном мире. Огромную, вероятно, до сих пор не вполне осознанную, роль в его познании сыграли компьютеры, позволившие исследовать множество нелинейных математических моделей, описывающих нашу реальность. Возникла положительная обратная связь. Результаты компьютерного анализа приводят к рождению новых теорий, понятий, моделей. Изучение этих моделей с помощью вычислительных машин приводит к рождению теорий и моделей нового поколения и т.д.
Одним из принципиальных результатов этой "гонки", увлекшей немалую часть научного сообщества, стала концепция самоорганизации. Обратим внимание еще раз на картинки течения жидкости. В них видна организация и упорядоченность, симметрия. Отсюда напрашивается вывод, что для их математического описания нужно небольшое число переменных. Но в каждом случае это свои переменные. Какие они, как возникают, подчиняя себе остальные степени свободы, как изучать их динамику, исследует междисциплинарный подход, называемый теорией самоорганизации или синергетикой. Само слово и принципиальная роль в создании этого подхода принадлежат немецкому ученому Г.Хакену.
В самоорганизации, появлении упорядоченности, важную роль играют диссипативные процессы – диффузия, вязкость, теплопроводность и множество других. Разумеется, физики всегда понимали роль этих явлений – без трения нам бы не удалось ходить пешком, а без вязкости двигаться на весельной лодке. Однако представление о том, что эти процессы, уничтожающие порядок в простейших линейных системах, могут быть в нелинейном мире "архитекторами упорядоченности", до сих пор кажется парадоксальным. Чтобы подчернуть необычность этого взгляда, один из основоположников теории самоорганизации И.Пригожин назвал упорядоченность, возникающую в открытых нелинейных системах, далеких от равновесия, и существенно связанную с рассеянием энергии, вещества или информации, диссипативными структурами.
В ходе математического моделирования такие структуры были, вероятно, впервые найдены в 1952 г. Аланом Тьюрингом. Они были обнаружены в ходе математического моделирования одного из наиболее сложных и интересных биологических явлений – морфогенеза. Морфогенез или клеточная дифференцировка замечателен тем, что в ходе деления и развития клеток, содержащих одинаковую генетическую информацию, возникает сложнейшая организация, каковой является организм.
А.Тьюринг предположил, что в основе морфогенеза лежат химические процессы. Распределение гипотетических химических реагентов – активатора и ингибитора в первоначально однородной ткани, приобретая неоднородность, может "указать" клеткам, какие свойства в каких пространственных областях им следует приобретать. Уравнения, предложенные Тьюрингом, имели вид
ut = D1u + f (u,v)
vt= D2u + g (u, v) (1)+
Здесь u – концентрация активатора, v – ингибитора, D1 и D2 – соответственно коэффициенты диффузии первого и второго вещества, f(u, v) и g(u, v) – нелинейные функции, определяющие кинетику реакций между активатором и ингибитором,– оператор Лапласа (), традиционно возникающий при моделировании диффузионных процессов.
После некоторого переходного периода возникали пространственно-неоднородные стационарные (т.е. не зависящие от времени) диссипативные структуры. Примерно такие, как показано на рис.12. Когда ответ известен, его можно пояснить на пальцах. Коэффициент диффузии активатора обычно выбирается существенно меньше, чем ингибитора. Поэтому последний "не успевает" стабилизировать процессы во всей области и "уследить" за активатором.
Рис. 12. Типичный пример стационарной диссипативной структуры в двухкомпонентной среде типа реакция-диффузия. Такие структуры возникают при математическом моделировании морфогенеза, описании ряда химических реакций, неустойчивостей в полупроводниках, расселении биологических видов по ареалу и во многих других задачах.
