1/√5, 1/√8, 5/√221, 13/√1517.
Подобно тому как жизни Мартина Марко, доньи Росы и Хулиты на страницах «Улья» оказываются неразрывно связанными, так и числа Маркова связаны с рациональными приближениями иррациональных чисел, поскольку именно они определяют различные константы, возникающие при поиске рациональных приближений по теореме Гурвица.
Обратите внимание, что два приведенных выше списка чисел в действительности ничем не отличаются. Чтобы показать это, нужен ключ, который позволит преобразовать числа из первого списка в числа второго списка. Этот ключ нашел немецкий математик Оскар Перрон в 1921 году:
Подставим в эту формулу m = 1, первое число Маркова, и получим 1/√(9·1 – 4) = 1/√5 — константу, которая фигурирует в теореме Гурвица о рациональном приближении. Подставим в формулу m = 2, второе число Маркова, и получим 2/√(9·4 – 4) = 2/√32 = 1√8 — константу, которая фигурирует в теореме Гурвица, если исключить из рассмотрения золотое число. Если мы подставим в эту формулу m = 5 или 13, то есть третье и четвертое число Маркова соответственно, получим 5/√221 и 13/√1517 — два следующих числа, отсылающих и к теореме Гурвица. Аналогичные действия можно выполнить и для следующих чисел Маркова. С другой стороны, если m, р и q являются решениями уравнения Маркова m2 + p2 + q2 = 3·m·p·q, то исключением, которое будет препятствовать уменьшению константы m/√(9·m2 — 4) в теореме Гурвица, будет число
и все эквивалентные ему иррациональные числа.
Как видите, в стране чисел, как в большом городе, жизненные пути персонажей пересекаются. Математика больше напоминает улей, чем сухую логическую структуру.
Было бы непростительно не закончить эту главу словами Камило Хосе Селы:
«Утро мало-помалу надвигается, червем проползая по сердцам мужчин и женщин большого города, ласково стучась в только что раскрывшиеся глаза, в эти глаза, которым никогда не увидеть новых горизонтов, новых пейзажей, новых декораций… Но утро, это вечно повторяющееся утро все же не отказывает себе в удовольствии позабавиться, изменяя облик города — этой могилы, этой ярмарки удачи, этого улья…»
Глава 3
Абстрактное и эмоциональное: математика и человеческая природа
Повторим наш мысленный эксперимент, в котором мы обращались к случайному прохожему. На этот раз зададим ему два вопроса. Сначала мы попросим его сгруппировать попарно следующие слова: «литература»/«математика» и «страсть»/«расчетливость». Затем попросим нашего собеседника рассказать о том, как, по его мнению, связаны математика и человеческая природа.
Отвечая на первый вопрос, большинство свяжет литературу со страстью, а математику — с расчетливостью. Нет никаких сомнений и в том, что прохожий скажет: математика и человеческая природа очень далеки друг от друга. Возможно, этот же ответ дадут и многие математики. Математика известна как совокупность абстракций, которые почти или никак не связаны с чувствами. Однако математика — продукт нашего разума в самом чистом виде, и в этом с ней не сравнится почти никакое другое творение человека. Логическая структура нашего разума — важнейшая характеристика человеческого состояния: именно наш мозг в немалой степени определяет то, какие мы есть.
Поэтому неудивительно, что внешность может быть обманчива.
Прежде всего напомним, что благоразумие, согласно толковому словарю, это «рассудительность, обдуманность в поступках», в то время как «страсть» — это «сильно выраженное чувство, воодушевленность» и «крайнее увлечение, пристрастие к чему-либо». Многие не связывают страсть с математикой, но она подобна полю битвы, на котором разгораются сражения между благоразумием и страстью. Мы, математики, знаем, что математика — это неустойчивое равновесие между благоразумием и страстью, тончайшая смесь трезвого расчета и крайнего увлечения, сильное, опьяняющее чувство. Поэтому в поисках доказательства математик руководствуется точным расчетом, который является неотъемлемой чертой строжайшего логического мышления. Однако в моменты, когда математик стремится совершить открытие или сражается с задачей, его охватывает возбуждение.
Предметом описания литературы и одновременно ее источником знаний служит человеческая природа, непреходящая борьба страстей и здравого смысла. Поэтому неудивительно, что большинство связывает литературу и страсть. Однако я осмелюсь заявить, что в этой борьбе между благоразумием и страстями математика играет далеко не последнюю роль. Математика может оказаться удивительно полезной: она способна помочь нам лучше познать себя и глубже понять человеческую природу.
Математика и ее контекст
Это звучит странно, и наш воображаемый прохожий усомнится в том, что математика может помочь людям познать себя. Наверняка многие ученые, которым известны тайны этой науки, также не понимают, как математика способна осветить дно глубокого колодца, которому подобна природа человека. Чтобы возразить скептикам, отмечу, что математике действительно под силу нечто подобное, если рассмотреть ее в нужном контексте. К примеру, под контекстом теоремы мы понимаем загадки истории, сопровождавшие автора или авторов этой теоремы: тех, кто выдвинул теорему, доказал или опроверг ее, или тех, кто безуспешно пытался найти ее доказательство.
Контекст математики в некотором смысле подобен обстоятельствам, без которых, по мнению Хосе Ортеги-и-Гассета, невозможно понять «я». Контекст математики имеет много общего с ее историей, однако эти понятия всё же различаются.
Уточним фразу, которая показалась неправдоподобной нашему прохожему и в которой усомнился недоверчивый математик. Математика действительно помогает нам познать себя: в столкновении абстрактного мира математики и мира эмоций, где обитают первооткрыватели и изобретатели, рождается свет, который достигает самых темных уголков человеческой натуры.
Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту математики. Как мы уже объясняли в главе 2, главное различие между литературой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоциональную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа, фигуры и абстракции. Чувства и эмоции нам хорошо знакомы, благодаря этому мы можем понять эстетическую ценность романа, в то время как холодность и абстрактность математических объектов затрудняют их восприятие. Именно поэтому важно учитывать эмоциональный контекст, которого не лишена математика: он позволяет очеловечить математику и предрасполагает к эстетическому наслаждению.
Однако, как мы отмечали в предисловии, цель этой книги — не засыпать читателя аргументами и доводами, а привести примеры, на основе которых он сделает собственные выводы. В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насладиться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера мы выбрали бесспорно красивые математические объекты — фракталы, а эмоциональный контекст предоставят события из жизни математика Феликса Хаусдорфа (1868–1942), предсказавшего существование фракталов.
* * *
ДРЕВНЕЙШАЯ ИЗ НАУК
Не будем подробно описывать обстоятельства, которые связывают математику с наиболее эмоциональной частью человеческой природы и восходят к моменту зарождения науки. Момент зарождения математики ознаменован созданием чисел. Не будем забывать, что числа ожидают нас «на кончиках пальцев», они словно являются частью нашего тела. Также не будем забывать, какую огромную роль сыграли наши руки в том, кто мы есть сейчас. Истоки человеческой истории окутаны мраком, поэтому сложно оценить, чему люди научились раньше: считать на пальцах, рисовать на стенах пещер, хоронить умерших или создавать божеств. Для всех этих действий, в том числе для счета, характерны неустанная борьба страстей и здравого смысла. Всё это позволяет назвать математику древнейшей из наук. Как видите, эмоциональный контекст пронизывает ее до самых корней, восходящих к древнейшей истории homo sapiens как вида.
* * *
Фракталы и размерность
ХаусдорфаФрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. В основе этой аномальности лежит понятие размерности пространства, и это понятие существенно расширил немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1919 году.
