И тут стало ясно, что квадратные числа расположены не в конце каждой строки, как в треугольнике, а наискосок, по диагонали. И это 1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д. Легко понять, что каждое следующее квадратное число есть сумма предыдущего и очередного нечётного числа натурального ряда: 4 (1+3), 9(4+5); 16(9+7), 25(16+ 9), 36(25+11) и т. д.
Любопытно, что каждое следующее квадратное число есть квадрат порядкового числа натурального ряда: 4=22; 9=32; 16=42; 25 = 52; 36=62 и т. д. И всякий раз основание степени указывает, из скольких строк построен квадрат. В первом 1 шар и 1 строка, во втором 4 шара и 2 строки, в третьем 9 шаров и 3 строки… Ну и так далее…
— Занятная игра, — вздохнула девочка, — но какая от неё польза?
— Такая же, как и от любой другой, — сказал я, пожав плечами. — Прежде всего, игра доставляет удовольствие. Но в то же время и тренирует наш мозг, нашу логику. А уж математические игры в особенности! Они приучают нас подмечать числовые зависимости, а это иногда ведёт к нешуточным последствиям. Такая сложная отрасль математики, как теория вероятностей, началась именно с игры, с желания угадать вероятность успеха. Что же до фигурных чисел, так ими увлекались ещё в древности. И это тоже привело к интересным открытиям. К примеру, древнегреческий математик Диофант установил, что если любое треугольное число умножить на 8, а потом прибавить к произведению единицу, то при этом обязательно получится число квадратное.
Конечно, девочка захотела это проверить. Она умножила треугольное число 3 на 8, получила 24, прибавила единицу и… получила квадратное число 25.
Я рассказал, что фигурными числами занимался ещё и Ферма. И он установил, что любое натуральное число можно представить суммой либо двух, либо трёх треугольных. Это легко проверить на тех треугольных числах, которые мы знаем: 1, 3, 6, 10 15, 21, 28, 36.
Возьмём натуральное число 17. Его можно представить суммой семнадцати единиц. Но это будет наибольшее число треугольных слагаемых. А Ферма имел в виду наименьшее. Ясно, что на сей раз это 15+1+1. Или: 10+6+1. На меньшее число треугольных слагаемых 17 не раскладывается. А вот число 20 может быть представлено в виде суммы двух треугольных чисел: 10+10…
— Посмотрите, — перебила меня девочка, — наш дорогой Главный терятель выложил шарики горкой!
— Лучше бы сказать, — пирамидкой, — уточнил тот. — Я получил её, положив в основание треугольник, состоящий из трёх шаров под номерами 1, 2, 3, а номер 4 положил сверху. И получил первые пирамидальные числа 1 и 4…
— Ничего подобного, — сказала девочка, — число 4 квадратное.
— Как видишь, не только квадратное, — возразил я. — Следующее по порядку пирамидальное число 10 в то же время и треугольное. Его мы получим, построив пирамиду с треугольным основанием из трёх строк и шести шаров под номерами с первого по шестой (№ 1–6). На этот треугольник нарастим меньший — из двух строк и трех шаров (№ 7, 8, 9). Сверху положим шар № 10. А зто и есть следующее после четырёх пирамидальное число. Новое пирамидальное число — 20 — получим, построив пирамиду с треугольным основанием из четырёх строк и десяти шаров под номерами с первого по десятый (№ 1-10), на вершине которой окажется шар № 20. Таким образом…
— Таким образом, всякий раз очередное пирамидальное число находится на вершине пирамиды, — подхватила девочка и, подумав, добавила: — А еще фигурные числа неразлучны с геометрией.
Что и говорить, это она правильно подметила! Хотя в дружбе своей с геометрией фигурные числа не одиноки.
Недавно я бездумно чертил на бумаге разные геометрические фигуры и вдруг заметил, что многие из них связаны с совершенными числами. Например, квадрат. У него 4 стороны и 2 диагонали. В сумме это равно шести. А 6 — число совершенное. Или восьмиугольник. У него 8 сторон и 20 диагоналей. В сумме это 28. А 28 опять-таки число совершенное.
Или куб. Это уже шестигранник, фигура объёмная. У него 13 рёбер, по 2 диагонали на каждой грани, да ещё 4 диагонали внутри куба. Всё это в сумме опять-таки составляет совершенное число 28 (12+2х6+4=28).
Я рассмотрел много фигур, плоскостных и объёмных, и мне удалось понять, в каких случаях число их сторон или рёбер вместе с числом диагоналей даёт число совершенное… У меня об этом даже статья напечатана… В журнале «Энэмские математические новости»…
— Тысяча извинений! — перебил мой рассказ Главный терятель. — Очень жаль прерывать вас на таком интересном месте, но что поделаешь! Боюсь позабыть то, что вспомнил…
— Неужто ассоциацию?! — всплеснула руками девочка.
— Вот-вот, — энергично закивал Главный терятель. — Я вспомнил, что значность утерянного номера — число совершенное и в тоже время треугольное.
— Это уже немало! — обрадовался я. — Кажется, нам пора устроить конференцию. Обсудить все наши данные и посмотреть, нельзя ли перейти к выводам.
— Неужели? Неужели это возможно? — заволновался Главный терятель. — В таком случае, чего же мы ждём?
Похоже, он собирался заседать прямо в музее. Но девочка этому решительно воспротивилась. Она заявила, что тут нет кофе. А в таких ответственных случаях ни один сыщик без крепкого кофе не обходится. Это была сущая правда. И мы поспешили в ближайшее кафе.
КОФЕ С ТАРАРАМОМ
В музее не было кофе, но там была тишина. В кафе тишиной и не пахло. Недаром оно называлось «Тарарам»! Зато здесь восхитительно пахло кофе и свежими булочками. Как тут было не вспомнить, что нам давно пора подкрепиться? Правда, вспомнив о еде, мы тут же позабыли о конференции. Но зто оказалось кстати, потому что заседать в таком тарараме не имело никакого смысла. Следовало выждать, пока здешние музыканты сами не вспомнят, что им пора закусить. И, судя по тому, как они надрывались, время зто было не за горами.
Оказывается, нам повезло: сегодня в кафе выступал знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4. Музыканты в отчаянно жёлтых куртках и неслыханно зелёных штанах до того обросли волосами, что мало походили на людей. Ещё меньше музыка их походила на музыку. Но я человек современный, бывалый, и не это меня удивило. Я заметил, что исполнители всё время меняются местами, да не как-нибудь, а всякий раз по-новому. Девочке это тоже бросилось в глаза. А Главный терятель громогласно заявил:
— Если бы я не знал, что передо мной знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4, я бы подумал, что это знаменитый квартет из басни Ивана Андреевича Крылова.
— Но ведь так оно и есть! — отозвался человек, сидевший за соседним столиком. — Название ПРОМОККМ состоит из начальных букв четырёх имён: Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и Косолапый Мишка. Пользуясь любезным разрешением энэмского зоопарка, они выступают в окрестных кафе и ресторанах, а иногда даже выезжают в другие города. При этом музыканты не забывают о математических традициях родного Энэмска. Всякий раз, завершив полный цикл пересадок… виноват, перестановок из числа 4, они непременно оповещают об этом публику через своего постоянного конферансье, попугая Какаду. Но сегодня он, к сожалению, не в голосе…
И правда: объявляя очередной номер, конферансье в разнопёром фраке хрипел и глотал слова. Хотя, на мой взгляд, зто ничему не вредило. Не всё ли равно, как называется пьеса — «Землетрясение в Буги-Вуги» или «Ураган в Шейк-н-рокке», если в музыке и так и так ничего не разобрать?
Но вот очередной раунд пересадок закончился, и попугай вышел на эстраду для торжественной церемонии.
— Дорррогие дрррузья! — начал он бойкой заученной скороговоркой. — Вы, разумеется, поняли, что сегодняшний концерт посвящается мне. Ведь исполняют в нём не какую-нибудь, а ПОП-музыку! Ха-ха-ха… Но это так, шутка, а если говорить всерьёз, произошло знаменательное событие. Наш несравненный ПРОМОККМ-4 завершил очередной цикл пересадок, и я счастлив объявить, что число их равно… кх-кх…
Тут он застыл с отверстым ртом и жестом показал, что у него пропал голос. С минуту в кафе «Тарарам» царила растерянность. И вдруг в проходе между столиками появился чёрный мохнатый клубок.
Он пулей пересек зал, поравнялся с эстрадой, легко вскочил на неё и… Посетители кафе увидели нашего Пусю! Как будущий артист он не мог не выручить собрата, как истый математик не мог допустить нарушения математических традиций города Энэмска. И все услышали, как Пуся тявкнул двадцать четыре раза. Потому что число перестановок из четырёх равно именно двадцати четырём.
Думаю, такого тарарама в кафе «Тарарам» ещё не было! Зал буквально стонал от восторга. Но самое любопытное, что число перестановок Пуся вычислил самостоятельно. Девочке же для этого потребовалась моя помощь, и я научил её находить число перестановок самым простым способом. 4 — четвёртое по счёту число натурального ряда. Чтобы узнать, сколько различных пересадок могут сделать четыре музыканта, надо перемножить числа 1, 2, 3, 4, и получится как раз двадцать четыре.
