Если вы хотите убедиться в том, что это действительно равновесная стратегия, то можете предположить, что другой игрок предлагает цену, равную половине его ценности предмета торгов, и представить себе, как отреагировали бы на это вы. Если вы предлагаете цену Х, то выиграете, если ценность предмета торгов для другого аукционера меньше 2Х (а значит, он предлагает цену меньше Х). Вероятность такого развития событий равна 2Х∕100. Таким образом, выигрыш от ставки Х при условии, что V – истинная ценность предмета торгов, составляет:
(Вероятность того, что выиграет
Х) × (
V – Х) = (2
Х / 100) (
V – Х).
Это уравнение дает максимальное значение при X = V∕2. Если другой игрок предлагает цену, равную половине ценности предмета торгов для него, то вам необходимо предложить цену, равную половине своей ценности. Если вы предлагаете цену, равную половине ценности предмета торгов для вас, то другому игроку необходимо поступить так же. Следовательно, мы имеем равновесие Нэша. Как видите, легче проверить, что при определенных условиях достигается равновесие, чем найти это равновесие.
Задача для тренировки мышления № 8
Предположим, вы знали, что ваш соперник будет действовать при t = 10. В таком случае вы могли бы сделать свой ход на счет 9,99 или подождать и позволить сопернику использовать свой шанс. Если вы выстрелите при t = 9,99, ваша вероятность выиграть составляет около p(10). В случае ожидания вы выиграете, если ваш соперник промахнется. Вероятность такого развития событий равна 1 – q(10). Следовательно, вы должны сделать свой ход раньше соперника, если p(10) > 1 – q(10).
Разумеется, ваш соперник делает такие же расчеты. Если он считает, что вы намерены сделать свой ход первым при t = 9,99, он сделает первый ход при t = 9,98, если q(9,98) > > 1 – p(9,98).
Следовательно, ни один из игроков не захочет делать свой ход раньше соперника при таком условии:
p(
t) ≤ 1 –
q(
t) и
q(
t) ≤ 1 –
p(
t).
Это условие тождественно следующему условию:
p(
t) +
q(
t) ≤ 1.
Таким образом, оба игрока готовы ждать до момента p(t) + q(t) = 1, а затем выстрелить.
Задача для тренировки мышления № 9
Если ваш дом будет продан за 250 тысяч долларов, комиссионные в размере 15 тысяч долларов разделят между собой поровну ваш агент и агент покупателя. Проблема в том, что такая система оплаты создает слабые стимулы. Если ваш агент работает усердно и продает дом на 20 тысяч долларов дороже, после раздела комиссионных он получит дополнительно всего 600 долларов. Более того, ему придется разделить эту сумму еще и с агентством, на которое он работает, после чего у него останется всего 300 долларов. Вряд ли эта сумма стоит дополнительных усилий, поэтому агенты по продаже недвижимости заинтересованы в том, чтобы продать дом побыстрее, а не получить за него самую высокую цену.
Почему бы не предложить агенту нелинейную систему оплаты: 2,5 процента за базовую стоимость дома – 200 тысяч долларов, а затем 20 процентов от любого превышения этой суммы? Если цена продажи составит 250 тысяч долларов, комиссионные останутся такими же, как и прежде: 15 тысяч долларов. Однако если вашему агенту удастся продать дом за 270 тысяч долларов, это увеличит размер его комиссионных на 2000 долларов даже после раздела.
Разумеется, здесь возникает вопрос о том, каким должен быть предельный размер комиссионных. Если вы считаете, что ваш дом можно продать за 300 тысяч долларов, то вы заинтересованы в том, чтобы размер комиссионных соответствовал цене продажи 250 тысяч долларов. Напротив, агент попытается занизить стоимость вашего дома и будет утверждать, что 250 тысяч долларов – это его рыночная цена, что потребует выплаты более высоких комиссионных, исходя из базовой цены 200 тысяч долларов. Это создает серьезный конфликт между вами и агентом в самом начале вашего сотрудничества.
Задача для тренировки мышления № 10
Для того чтобы понять, насколько большим может быть такое несовпадение интересов, необходимо глубже проанализировать некоторые экономические показатели. Как правило, издатель получает 50 процентов от прейскурантной цены книги. Затраты на издание и доставку книги в твердом переплете составляют в среднем три доллара на книгу. В таком случае при цене p, которая обеспечивает объем продаж q(p), издатель заработает
(0,5
p – 0,15
p – 3) ×
q(
p) = 0,35 × (
p – 8,6) ×
q(
p).
Поскольку издатель получает только половину прейскурантной цены и должен выплатить автору 15 процентов, у него остается всего около 35 процентов, но он должен взять на себя все затраты на издание книги. В итоге реальные затраты на издание книги могут составить почти в три раза больше: 8,6 доллара.
Возьмем самый простой случай, когда спрос носит линейный характер, скажем q(p) = 40 – p, и измеряется в тысячах. Для того чтобы получить максимальный доход, автор выберет прейскурантную цену 20 долларов. С другой стороны, издатель выберет цену 24,3 доллара, для того чтобы получить максимальную прибыль.
Сноски
1
Об этом исследовании упоминается здесь: The Hot Hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences, Cognitive Psychology 17 (1985): 295–314.
2
New York Times, September 22, 1983.
3
Эти цитаты взяты из речи Мартина Лютера на заседании рейхстага в Вормсе 18 апреля 1521 года, приведенной в книге: Roland Bainton, Here I Stand: A Life of Martin Luther (New York: Abingdon-Cokesbury, 1950).
4
Don Cook, Charles de Gaulle: A Biography (New York: Putnam, 1982).
5
David Schoenbrun, The Three Lives of Charles de Gaulle (New York: Athenaeum, 1966).
6
См. Thomas Schelling, Arms and Influence (New Haven, CT: Yale University Press, 1966), 45; и Xenophon, The Persian Expedition (London: Penguin, 1949), 136–37, 236.
7
Шоу Life: The Game («Жизнь – игра») вышло в эфир 16 марта 2006 года. Продолжение этого шоу, в котором угрозе было противопоставлено позитивное подкрепление, вышло в эфир 20 декабря 2006 года.
8
Warren Buffett, The Billionaire’s Buyout Plan (New York Times, September 10, 2000).
9
Truman Capote, In Cold Blood (New York: Vintage International, 1994), 226–28.
10
Цитаты взяты из статьи по этой теме, опубликованной в New York Times 29 мая 2005 года.
