110
Для анализа геометрической формы пространства математики и физики используют количественный подход к описанию кривизны, разработанный в девятнадцатом столетии, который сегодня является частью математической области знаний, известной как дифференциальная геометрия. Один неформальный способ понимания этого способа описания кривизны заключается в изучении треугольников, нарисованных на или в изучаемом пространстве. Если сумма углов треугольника равна 180°, что верно, когда он нарисован на плоской поверхности стола, мы говорим, что пространство плоское. Но если сумма углов больше или меньше 180°, что верно, когда треугольник нарисован на поверхности сферы (сумма углов больше 180°) или на поверхности седла (сумма углов меньше 180°), мы говорим, что поверхность кривая. Это показано на рис. 8.6.
111
Если бы вы склеили противоположные вертикальные края тора вместе (что разумно сделать, поскольку они отождествлены — когда вы проходите через один край, вы немедленно возникаете на другом), вы бы получили цилиндр. И затем, если бы вы сделали то же самое с верхним и нижним краями (которые теперь будут иметь форму окружностей), вы бы получили бублик. Таким образом, бублик есть другой способ представлять себе тор. Одно усложнение этого представления заключается в том, что бублик уже не выглядит плоским! Однако это действительно так. Используя понятие кривизны, данное в предыдущем примечании, вы найдёте, что все треугольники, нарисованные на поверхности бублика, имеют сумму углов 180°. То, что бублик выглядит кривым, является артефактом того, как мы вложили двумерную поверхность в наш трёхмерный мир. По этой причине в текущем контексте более удобно использовать явно плоские представления двух- и трёхмерных торов, как это обсуждается в тексте.
112
Отметим, что мы весьма вольно разграничили понятия формы поверхности и кривизны. Имеются три типа кривизны для полностью симметричного пространства: положительная, нулевая и отрицательная. Но две поверхности могут иметь одинаковую кривизну и всё же не быть идентичными по форме; простейшим примером является плоский видеоэкран и плоская бесконечная поверхность стола. Таким образом, симметрия позволяет нам свести кривизну пространства к трём возможностям, но имеются в некотором смысле больше чем три формы пространства (отличающиеся тем, что математики называют глобальными свойствами), которые реализуют эти три кривизны.
113
До настоящего момента мы концентрировались исключительно на кривизне трёхмерного пространства — кривизне пространственных сечений в блоке пространства-времени. Однако, хотя это трудно нарисовать, во всех трёх случаях пространственной кривизны (положительной, нулевой, отрицательной) искривлено всё четырёхмерное пространство-время, причём со степенью кривизны тем большей, чем ближе мы подходим к Большому взрыву. Фактически, вблизи момента Большого взрыва четырёхмерная кривизна пространства-времени возрастает настолько, что уравнения Эйнштейна отказывают. Мы обсудим это далее в последующих главах.
114
Если вы повысите температуру много больше, то получите четвёртое состояние материи, известное как плазма, в котором атомы разрушаются на составляющие частицы.
115
Имеются любопытные вещества, такие как соли Рошелле, которые становятся менее симметричными при высоких температурах и более симметричными при низких температурах — противоположно тому, что мы, как правило, ожидаем.
116
Одно различие между полями сил и материи выражается принципом исключения Вольфганга Паули. Этот принцип показывает, что, в то время как огромное количество частиц — переносчиков сил (вроде фотонов) могут объединяться, чтобы создать поля, понятные доквантовому физику, такому как Максвелл, — такие поля, которые вы видите всякий раз, когда заходите в тёмную комнату и включаете свет, но частицам материи в общем случае законы квантовой физики запрещают такое кооперирование согласованным, организованным способом. (Более точно, две частицы одного и того же типа, такие как два электрона, не могут иметь одинаковое состояние, тогда как для фотонов такого ограничения нет. Из-за этого поля материи в общем случае не имеют макроскопического, классического проявления.)
117
В схеме квантовой теории поля каждая известная частица выглядит как возбуждение определённого фундаментального поля, связанного с семейством, членом которого является частица. Фотоны есть возбуждения фотонного поля — т. е. электромагнитного поля; u-кварк является возбуждением поля u-кварков; электрон есть возбуждение электронного поля и т. д. Таким образом, вся материя и все силы описываются единым квантово-механическим языком. Однако оказалось, что очень трудно описать на этом языке все квантовые свойства гравитации, эту проблему мы будем рассматривать в главе 12.
118
Хотя поле Хиггса названо в честь Петера Хиггса, но жизненно важную роль в его появлении в физике и в его теоретическом исследовании сыграло большое число других физиков, среди них — Томас Киббл, Филип Андерсон, Роберт Браут и Франсуа Энглер.
119
Имейте в виду, что величина поля задаётся расстоянием от него до центра чаши, так что хотя поле имеет нулевую энергию, когда его величина находится в жёлобе чаши (поскольку высота над дном жёлоба обозначает энергию поля), его величина не равна нулю.
120
В принципе, имеются два понятия массы, которые фигурируют в физике. Одно понятие описано в тексте: масса есть свойство объекта, определяющее его способность сопротивляться ускорению. Иногда эту массу называют инертной массой. Второе понятие массы имеет отношение к гравитации: масса, как такое свойство объекта, которое определяет, насколько сильно он будет притягиваться гравитационным полем заданной величины (таким как поле Земли). Иногда это понятие массы называется гравитационной массой. На первый взгляд, поле Хиггса имеет отношение только к пониманию инертной массы. Однако принцип эквивалентности общей теории относительности утверждает, что силы, ощущаемые от ускоренного движения и от гравитационного поля, неразличимы — они эквивалентны. А это означает эквивалентность понятий инертной и гравитационной массы. Таким образом, поле Хиггса имеет отношение к обоим видам массы, которые мы упомянули, поскольку, согласно Эйнштейну, они представляют собой одно и то же.
121
Я благодарю Рафаэля Каспера, который указал, что это описание является вариацией победной метафоры профессора Дэвида Миллера, предъявленной в 1993 г. в ответ на требование Британского министра науки Вильяма Вальдегрейва Британскому физическому обществу объяснить, почему деньги налогоплательщиков должны быть использованы на поиски частицы Хиггса.
122
Склонный к математике читатель должен отметить, что фотоны, W-, и Z-бозоны описываются в электрослабой теории как принадлежащие к присоединённому представлению группы SU(2) × U(1), а потому преобразовываются под действием этой группы. Более того, уравнения электрослабой теории полностью симметричны относительно преобразований этой группы, и в этом смысле мы описываем частицы сил как взаимосвязанные. Более точно, в электрослабой теории фотон является определённой смесью калибровочного бозона, проявляющего явную U(1)-симметрию, и U(1)-подгруппы группы SU(2); таким образом, он тесно связан со слабыми калибровочными бозонами. Однако вследствие структуры группы, имеющей вид произведения двух групп, четыре бозона (на самом деле имеются два W-бозона с противоположными электрическими зарядами) не полностью смешиваются под её действием. В этом смысле слабое и электромагнитное взаимодействия являются частью единой математической структуры, но не настолько сильно унифицированы, как это могло бы быть. Если включить ещё и сильные взаимодействия, группа пополняется путём включения множителя SU(3) — «цветная группа» SU(3) — и тогда эта группа, имея три независимых сомножителя, SU(3) × SU(2) × U(1), только ещё раз подчёркивает отсутствие полного объединения. Такова часть мотивировки великого объединения, обсуждаемого в следующем разделе: великое объединение ищет единственную, полупростую группу Ли — группу, состоящую из единственного сомножителя, — которая описывает силы на больших масштабах энергии.
