источником и пунктом своего прихода без всяких ограничений, вдоль всех возможных путей. Однако все эти пути, кроме одного – того, который требует наименьшего времени прохождения (в этом утверждении мне придется кое-что уточнить, и я вскоре это сделаю), – все эти пути окружены уничтожающими их соседями и в результате элиминируются. Только один путь имеет соседей, которые не разрушают его, путь наименьшего времени – и именно по нему частица и распространяется.
Итак, будем считать, что все частицы – не одни только электроны – имеют волновую природу. Анархия требует, чтобы в однородной среде частица распространялась по прямой, так же, как свет – в полном соответствии с аргументами, которые я только что привел. То есть мы позволяем частице распространяться по любому пути в пустом пространстве, и благодаря ее волновой природе единственным путем, на котором у нее не будет деструктивных соседей, будет прямой путь между источником и точкой назначения.
* * *
Но движение по прямым – не единственный вид движения частиц. Мир был бы скучным, полностью предсказуемым местом, если бы этим все и ограничивалось. Как насчет более сложного поведения – движения по орбитам и вообще криволинейного движения? Распространяется ли на него власть анархии? Да. Но чтобы понять это, придется принять к сведению идею действия.
Здесь я оказываюсь в затруднении. В техническом термине «действие» лишь слегка проглядывают те значения, которые это слово имеет в своем повседневном смысле. Я уже призывал вас думать о действии как об усилии, напряжении сил, физическом «пыхтении». Конечно, в физике есть и более формальное определение этого понятия, скрытое в глубине уравнений классической механики, но для того, чтобы вывести его здесь во всем его истинном величии, понадобился бы слишком утомительный технический марафон [21]. Поэтому я по-прежнему буду понимать под действием что-то вроде «пыхтения».
Когда классическая частица движется по своей траектории, она несет некоторое количество этого «пыхтения». Согласно сформулированному Мопертюи принципу наименьшего действия, путь, который частица в реальности выбирает в своем движении, соответствует наименьшему количеству «пыхтения» – как, возможно, мы стремимся поступать и сами. Из этого вытекает, что пути частиц, которые были бы вычислены из классической механики Ньютона в соответствии с исходной авторской формулировкой, данной в терминах сил, действующих в каждой точке, могут быть рассчитаны и из условия наименьшего действия вдоль траектории.
Тут возникает вопрос, как же именно частица узнает наперед, какой из возможных путей связан с наименьшим действием. Она ведь может начать двигаться по какому-нибудь соблазнительно благоприятному в этом смысле пути, а потом вдруг наткнуться на преграду в виде противодействующей силы, для преодоления которой ей придется по-настоящему попыхтеть. Но к этому времени будет уже слишком поздно поворачивать назад и начинать все с начала в надежде выбрать путь полегче.
Точно такой же вопрос вставал перед нами при обсуждении распространения света – и ответ здесь точно такой же. Тогда решением проблемы оказывалась волновая природа света в сочетании с анархией. В нынешнем случае решение вытекает из волновой природы вещества – в сочетании все с той же анархией. Вместо коэффициента преломления среды, через которую распространялся свет, замедляя в ней свое движение и вследствие этого изменяя свою фазу в точке прихода (от этого зависело, придется ли на эту точку гребень волны, ее впадина или что-то посредине между ними), теперь мы рассматриваем действие вдоль траектории (количество «пыхтения», связанное с ней), которое влияет на прохождение волны через области с различной потенциальной энергией и таким образом определяет фазу волны вещества в точке ее прихода. Эти вопросы были исследованы Ричардом Фейнманом (1918–1988), одаренным необыкновенным творческим воображением великим ученым и популяризатором науки, который увидел, что они могут привести его прямехонько к квантовой механике[22].
Итак, если интересующая нас частица рассматривается как волна и кругом царит анархия, что проявляется в отсутствии всякого управления ее движением, то аргументация строится так. Волны распространяются вдоль всех возможных путей между их источником и точкой прихода; каждая из них оказывается в определенной фазе, зависящей от действия, связанного с распространением по тому или иному пути [23]. Вообще говоря, каждый путь соседствует с другими, имеющими совершенно другую фазу – некоторые на гребне, некоторые в провале, – что для данного конкретного пути губительно. Благосклонные соседи, которые не несут разрушения, оказываются только у того пути, который соответствует наименьшему действию. Мы, сторонние наблюдатели, не видим этих скрытых конфликтов: мы замечаем только, что единственным реализующимся путем неизменно остается путь наименьшего действия.
Если величина действия очень велика, как это имеет место у тяжелых частиц – мячей или планет, – то уничтожение друг друга соседями оказывается очень жестким и эффективным. Тогда, как и в геометрической оптике, частицы можно рассматривать как движущиеся по точно определенной «траектории выживания». Получается, что классическая механика вытекает из волновой природы частиц точно так же, как геометрическая оптика – из физической оптики и из волновой природы света. Когда частицы малы, как, скажем, электроны, действие микроскопически мало и взаимное погашение соседями друг друга становится неэффективным, как, например, при распространении звука. Классическая механика в этих случаях не действует, точно так же, как «геометрическая акустика» неприменима к звуку. Теперь для оценки движения частиц надо пользоваться квантовой механикой, которая всегда наготове, но, когда действие велико, остается в тени.
* * *
Наконец, чтобы завершить это обсуждение, мне придется еще упомянуть концепцию дифференциального уравнения. Многие законы природы, и в особенности законы классической и квантовой механики, выражаются именно в этой форме[24]. Это важная тема – часто можно услышать, что дифференциальные уравнения составляют математическую основу физики. Уравнения обычного, знакомого всем вида говорят нам, как одно свойство зависит от другого; взять хоть знаменитое уравнение E = mc 2, которое показывает, как энергия E зависит от массы m. Дифференциальное же уравнение говорит о том, как изменение одного свойства (отсюда намек на понятие «разности», difference, в слове «дифференциальный») зависит от различных других свойств, включая и само рассматриваемое свойство. Второй закон Ньютона, который гласит, что скорость изменения количества движения пропорциональна действующей силе, – пример вербализации, словесного выражения дифференциального уравнения.
Также важно, что дифференциальные уравнения выражают бесконечно малые изменения свойств. Причина (и преимущество) такого подхода заключаются в том, что условия могут изменяться от точки к точке. Например, во втором законе Ньютона сила может меняться от места к месту и от одного момента времени к другому, и чтобы найти суммарное влияние этих изменений на траекторию частицы, необходимо рассмотреть кумулятивный, накопленный результат выполнения множества (по
