Рис. 11. Применение золотого сечения: а – геометрическое построение прямоугольника в золотом сечении 1,62: 1 и золотое число 1,62 в отношении отрезков а и b; б – графическое построение функции золотой пропорции 1,12: 1; в – золотые пропорции строения гармонично развитого человеческого тела; г – построение кленового листа; д – рамки, построенные по различным закономерностям.
Золотое число наблюдается в пропорциях строения тела гармонично развитого человека (рис. 11, в): длина головы делит в золотом сечении расстояние от талии до макушки; коленная чашечка также делит расстояние от талии до подошвы ног; кончик среднего пальца вытянутой вниз руки делит в золотой пропорции весь рост человека; отношение фаланг пальцев – тоже золотое число. Это же явление наблюдается и в иных конструкциях природы: в спиралях моллюсков, в венчиках цветков и др.
В резьбовых орнаментах растительные мотивы, особенно изображения листьев, – наиболее популярные элементы. Все листья, как правило, выполняются в пропорциях золотых чисел 1,62 и 1,12. Для примера на рис. 11, г, представлено строение листа клена. При соотношении ширины к длине в 1,12 лист имеет несколько пропорций с числом 1,62. Это так называемая десятка гармоничных пропорций кленового листа: AD/BC = EF/BC = EF/OD == OD/OM = OD/AO = OM/MD = BC/NP = NP/RS = RS/TU == 1,62; KL/AD = 1,12.
За основу построения такого листа взяты две трапеции, у которых отношение высоты и длины основания выражается золотым числом. Строение листа может быть описано такими основными соотношениями: OD = BC; EF = AD; OM = AO; NP = AO; KL = 1,12AD; AD/BC = 1,62; RS = NP/1,62; TU = RS/1,62.
Варианты поиска гармоничной пропорции можно рассмотреть на примере рамки (рис. 11, д). Внешние размеры рамки (изображенной слева) золотой пропорции не дадут: отношение ее длины и ширины (330 × 220) несколько меньше золотого числа, а именно равно 1,5, а ширина поперечных звеньев (84 и 94) соответственно увеличена по сравнению с боковыми сторонами (63). Но это позволяет выйти на размеры помещенной в рамку картины, дающие пропорции золотого сечения (152 × 94). Отношение же ширины нижнего звена рамки (94) к ширине ее верхнего звена (84) подогнано к другому золотому числу – 1,12. Кроме того, отношение ширины нижнего звена (94) к ширине бокового (63) близко к 1,5.
Правило золотого сечения не всегда дает решение проблемы композиции, но оно незаменимо при нахождении нужных пропорций, гарантированно проверенных практикой. Эти гармоничные пропорции надо уметь выявить и подчеркнуть конструкцией и формой изделия.
Таким образом, удалось сохранить пропорции картины, формата рамки и ее элементов приближенными к классической гармонии.
Если же длинную сторону рамки увеличить до 366 мм за счет ширины нижнего звена (130), то отношение внешних размеров рамки (366/220) и отношение поперечных звеньев (130/84) будет приближено к золотому числу 1,62 вместо 1,12. В результате получится новая композиция (рамка, изображенная справа), которая может быть применена в каком-либо ином изделии, но для рамки возникает желание сделать ее короче. Закройте ее нижнюю часть линейкой настолько, чтобы глаз «принял» получившуюся пропорцию, и мы получим длину 330 мм, то есть вернемся к исходному варианту.
Деление окружности на равные части
Деление на 3 части (рис. 12, а). Из конца диаметра окружности проводят дугу радиусом R, равным радиусу окружности. Дуга образует на окружности две необходимые точки. Третья точка находится на противоположном конце диаметра.
Деление на 4 и 8 частей. При делении окружности на 4 части помогут циркуль и линейка, с помощью которых необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра (рис. 12, б). Если провести один диаметр и из одного его конца описать дугу несколько большую, чем радиус R, а из противоположного конца диаметра провести другую дугу этого же радиуса, то, соединив точки их пересечения прямой линией (которая пройдет через центр), получим второй диаметр, перпендикулярный первому. Точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью делят ее на 4 равные части.
Для деления окружности на 8 равных частей (рис. 12, в) необходимо построить две пары взаимно перпендикулярных диаметров.
Рис. 12. Деление окружности на равные части: а – на три части; б – на четыре части; в – на восемь частей; г – на пять частей (1-й способ); д – на пять частей (2-й способ); е – на шесть частей; ж – на семь частей.
Деление на 5 частей. Деление окружности на 5 частей можно выполнить несколькими способами. Первый способ (рис. 12, г) предполагает использование циркуля и линейки. Сначала уже известным способом необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра. После этого радиус R нужно разделить пополам: из крайней точки пересечения горизонтального диаметра необходимо провести дугу радиуса R и через две точки, образовавшиеся при пересечении этой дуги с окружностью, провести прямую линию – она разделит горизонтальную линию радиуса R пополам. Из точки деления (½R) проводят дугу радиусом r (равным расстоянию от точки ½R до точки пересечения окружности с вертикальным диаметром). Эта дуга пересечет вторую половину горизонтального диаметра в точке С. Отрезок, равный расстоянию от точки С до точки пересечения окружности с вертикальным диаметром, будет соответствовать стороне вписанного в окружность искомого пятиугольника. Необходимо установить циркуль на величину, равную длине этого отрезка, и из верхней точки пересечения окружности с вертикальным диаметром провести дугу заданного радиуса – точка ее пересечения с окружностью будет следующей вершиной пятиугольника. Из найденной вершины нужно провести еще одну дугу заданного радиуса – это будет третья вершина пятиугольника, из которой, в свою очередь, нужно будет провести следующую дугу, и так пока окружность не будет разделена на 5 равных частей. Если после этого провести очередные пять дуг заданного радиуса, но начиная из нижней точки пересечения окружности с вертикальным диаметром, то окружность разделится на 10 равных частей. Кроме того, на рис. 12, г, выделен отрезок СО на горизонтальном диаметре, соответствующий 1/10 окружности, то есть если на окружности последовательно провести 10 дуг радиусом, соответствующим величине отрезка СО, окружность также разделится на 10 равных частей.
При втором способе (рис. 12, д) на диаметре окружности с помощью уже известного приема необходимо найти точку, которая разделит радиус R пополам. Из этой точки проводят прямую линию до пересечения с концом диаметра (точки С). Затем из точки R/2 проводят дугу радиусом, равным ½R, до ее пересечения с проведенной линией в точке Е. Далее циркулем из точки С проводят дугу радиусом, равным отрезку CE, до ее пересечения с окружностью в точках А и В. Отрезок АВ – грань пятиугольника. Теперь остается провести из точек А и В дуги радиусом, равным величине отрезка АВ, чтобы последовательно разделить окружность на 5 частей.
Существует также способ деления окружности на 5 частей с помощью транспортира. К радиусу R окружности необходимо приложить транспортир, построить центральный угол 72° (360: 5 = 72) и провести из центра прямую линию до точки ее пересечения с окружностью. Полученную точку необходимо соединить с точкой пересечения радиуса R на окружности – данный отрезок будет стороной пятиугольника. Проведя из обеих точек дуги радиусом, соответствующим длине данного отрезка, можно разделить окружность на 5 частей.
Деление на 6 и 12 частей (рис. 12, е). Из точек пересечения окружности с вертикальным диаметром проводят две дуги, радиус которых равен радиусу окружности. Пересечение дуг на окружности образует точки, которые последовательно соединяются хордами. В результате образуется вписанный в окружность шестиугольник. Для разделения окружности на 12 частей делают такое же построение, но только на двух взаимно перпендикулярных диаметрах.
Деление на 7 частей (рис. 12, ж). Из конца любого диаметра проводят вспомогательную дугу радиусом R. Через точки ее пересечения с окружностью проводят хорду, равную стороне правильно вписанного треугольника (как на рис. 12, а). Половина хорды равняется стороне вписанного в окружность семиугольника. Теперь достаточно последовательно отложить на окружности несколько дуг радиусом, равным половине хорды, чтобы разделить окружность на 7 частей.
