Мне всегда нравился принцип соответствия Бора, так как он обладал той самой гибкостью, позволявшей получить реальные математические схемы.
Из беседы Гейзенберга с историком науки Томасом Куном, 1963 год
Гейзенберг покинул Копенгаген, находясь в приподнятом расположении духа: перед ним забрезжили догадки, которые могли стать началом новой теории. Паули, напротив, был настроен крайне пессимистично. Примерно в то же самое время он пишет другу: «Физика […] слишком сложна для меня, и я хотел бы стать киноактером или кем-то еще, чтобы никогда больше о ней не слышать. Теперь я жду, что Бор со своей новой идеей спасет всех нас». Однако Бор не принял участия в этой спасательной операции, и ее главными действующими лицами стали Гейзенберг и Шрёдингер (1887-1961).
Первое рождение квантовой механики
В конце апреля 1925 года Гейзенберг вернулся в Гёттинген, готовый продолжить работу над своими туманными идеями. Изначально он хотел изучить атом водорода, но тот оказался слишком сложным для проверки нечетких идей, и Гейзенберг рассмотрел более простые системы, в частности гармонический осциллятор (маятник или груз, подвешенный на пружине).
Если мы немного растянем пружину, возникнет компенсирующая сила, под действием которой груз будет стремиться занять исходное положение. Эта сила пропорциональна расстоянию, отделяющему груз от положения равновесия. Любая система при незначительном отклонении от положения равновесия ведет себя подобно гармоническому осциллятору, именно поэтому они так важны при изучении физики.
Когда Гейзенбергу удалось добиться некоторого прогресса, у него внезапно возникла аллергическая реакция на пыльцу, и в начале июня он отправился на лечение на остров Гельголанд в Северном море, где любую пыльцу сразу же уносили сильные ветра. Несколько недель ученый интенсивно работал над своими идеями. Его беспокоило, что в рассматриваемых условиях мог не выполняться закон сохранения энергии, и чтобы проверить это, потребовалось провести вычисления. Гейзенберг завершил работу около трех часов ночи и понял, что его схема верна. Заснуть от возбуждения он уже не мог, поэтому вышел из дома и стал ждать рассвета, сидя на берегу моря. Уже в июле редакция «Физического журнала» получила рукопись под названием «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений». В ней Гейзенберг хотел заложить основы квантовой механики, опираясь «исключительно на отношения между наблюдаемыми в принципе величинами».
Постараемся описать его рассуждения. Определить траекторию частицы в классическом смысле означает указать координату частицы х в любой момент времени t, что записывается как x(t). Траектория электрона является периодической, и подобное движение можно представить с помощью рядов Фурье. Здесь речь идет о сумме членов вида xn (t). Соответствующие им частоты кратны основной частоте. Если мы проанализируем звук, издаваемый музыкальным инструментом, с помощью ряда Фурье, то целое число п укажет соответствующий обертон, однако, помимо основной частоты, рассматриваемый звук будет включать множество обертонов.
Музыкальные инструменты и ряд Фурье
Как правило, мы способны отличить звук флейты от звука скрипки, даже если на них сыграть одну и ту же ноту, например, до первой октавы, которая имеет частоту 261,6 Гц. На языке музыки говорится, что эти звуки имеют разный тембр, однако их тон (частота) и сила одинаковы. На рисунке вы можете сравнить звук флейты и скрипки (выделен серым) при исполнении одной и той же ноты. На графике представлена кривая, описывающая чистый звук (выделена черным), издаваемый камертоном, настроенным на ноту до первой октавы.
Как видите, звук флейты достаточно схож с чистым звуком, полученным с помощью камертона, – не случайно звучание флейты считается наиболее чистым, в то время как звук скрипки сложнее. В звуковых волнах, синтезируемых инструментами, содержатся обертоны, частоты которых кратны частоте основного звука. Определение интенсивности обертонов называется анализом Фурье.
Гейзенберг решил: чтобы описать эквивалентную величину в квантовой механике, одного целого числа будет недостаточно, так как наблюдаемые частоты соответствуют переходу между двумя квантовыми состояниями. Для простоты будем описывать каждое состояние единственным квантовым числом п. Следовательно, эквивалентом классического ряда Фурье будет сумма с двумя индексами – двойная сумма членов вида xmn(t). Иными словами, чтобы определить положение электрона в произвольней момент времени, нужно составить для каждого момента времени таблицу чисел. Количество ее строк и столбцов будет равно количеству состояний атома. Гейзенберг также предположил, что эта новая квантовая величина должна описываться теми же уравнениями, что и ее аналог в классической физике – например, законом Ньютона, согласно которому сила равна произведению массы на ускорение, или любой другой эквивалентной формулировкой. В простых случаях Гейзенбергу удалось получить выражения для расчета амплитуд, соответствующих величинам xmn(t), а также для вычисления энергии стационарных состояний.
Новая модель выглядела непротиворечивой, однако ученый все еще не был в ней уверен – в этой модели предполагалось, что существует некое странное свойство, связанное с произведениями двух величин, x(t) и y(t). Как представить таблицу для произведения чисел через таблицы чисел для каждого множителя? Гейзенберг сделал это так:
[x(t)y(t)]mn =xm1(t)y1n(t) +xm2(t)y2n(t) +xm3(t)y3n(t) +…
Согласно его гипотезе, «в то время как в классической теории x(t)y(t) всегда равно y(t)x(t), это соотношение необязательно выполняется в квантовой теории». Несмотря на всю странность этого вывода, Гейзенберг решил изложить свои идеи, расчеты и результаты письменно. Он передал рукопись Борну и попросил опубликовать ее, если тот будет согласен с написанным. После этого молодой ученый сразу же отправился в далекий путь: его ждали конференции в Голландии и Англии, отпуск в Скандинавии в компании скаутов и продолжение работы в Копенгагене.
Странное правило умножения, описанное Гейзенбергом, сбило Борна с толку. Он обдумывал новую модель несколько дней и наконец понял, что уже видел это правило, когда изучал математику в университете: таблицы Гейзенберга соответствовали матрицам, произведение которых не обладает коммутативностью. После того как Борн убедился в правильности рассуждений Гейзенберга, он отправил рукопись в «Физический журнал», где она была опубликована в сентябре 1925 года.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
