измерений не представляет трудности. Анализ дополнительной погрешности измерительного канала в динамическом режиме требует иного подхода, разработка которого и является целью данной работы.
Модель измеряемого сигнала на входе канала ИИС x(t) может быть представлена в виде суммы математического ожидания измеряемого параметра μx = M{x{t)}, стационарного центрированного случайного процесса гауссовского типа x0(t) и гармонической составляющей xh(t) [2–4]:
x(t) = μx + x0(t) + xh(t). (1)
Модель влияющих величин ε(t) также может быть описана выражением подобным выражению (1), т. е. [2–4]:
ε(t) = με + e0(t) + eh(t), (2)
где με — математическое ожидание влияющей величины; e0(t) — стационарный центрированный случайный процесс гауссовского типа; eh(t) — гармоническая составляющая.
При учете инерционности измерительного канала и канала влияния необходимо также иметь информацию о таких характеристиках сигналов как спектральная плотность мощности (СПМ) или соответствующая ей автокорреляционная функция (АКФ).
В общем случае выходной сигнал измерительного канала y(t) есть некоторый функционал от измерительного сигнала и влияющей величины (или величин) т. е. y(t) = Ψ{x(t),ε(t)}, но при нормировании дополнительной погрешности обычно сводят к одному из следующих видов:
— мультипликативная погрешность;
— аддитивная погрешность;
— аддитивно-мультипликативная погрешность (при нескольких влияющих величинах).
В зависимости от количества влияющих величин и их взаимной зависимости, а так же зависимости между ними и измеряемой величиной могут быть выделены следующие модели погрешности измерительного канала:
— скалярная модель с независимыми сигналами (одна влияющая величина ε{t), pxε = 0, xh(t) = 0, εh(t) = 0);
— скалярная модель с зависимыми сигналами (одна влияющая величина ε(t), pxε не = 0, xh(t) = 0, εh(t) = 0);
— скалярная модель с учетом гармонических составляющих (одна влияющая величина ε(t), pxε не = 0, xh(t) не = 0, εh(t) не = 0);
— векторная модель с независимыми составляющими (вектор влияющих величин [ε] = [ε1(t),ε2(t),ε3(t)….εn(t)], матрица корреляции вектора [ε] нулевая);
— векторная модель с зависимыми составляющими (вектор влияющих величин [ε] = [ε1(t),ε2(t),ε3(t)….εn(t)] матрица корреляции вектора [ε] ненулевая);
Рассмотрим основные случаи, при этом опустим громоздкие математические выкладки и промежуточные вычисления.
Суммарная погрешность измерительного преобразователя, при статистической независимости между составляющими, может быть определена по формуле [4]:
(3)
где Δосн — основная погрешность средства измерений; Δдин — динамическая погрешность; Δдоп — дополнительная погрешность; n — число влияющих величин.
Выражение (3) также может быть представлено в следующем виде:
(4)
где Ψ(εi) — функция влияния, или коэффициент влияния, когда она линейна, или функция совместного влияния нескольких влияющих величин Ψ(εi,εj); εi — i-тая влияющая величина; μ0i — значение влияющей величины принятое при градуировке ИП; i = 1,2…n; j = 1, 2…n, при i не = j.
Мгновенное значение дополнительной погрешности может быть определено из разности сигнала с выхода преобразователя и входного сигнала:
Δдоп(t) = (y(t) — x(t)) = ax(t)[ε(t) — μ0]. (5)
Так как в выражение (4) дополнительная погрешность входит в виде квадрата своего значения, то более удобно определять сразу ее квадрат, поэтому (5) запишем в виде:
Δ2доп(t) = a2x2(t))[ε(t) — μ0]2.
В технологических измерениях, как правило, интерес представляет не мгновенное, а среднее значение измеряемого параметра, а, следовательно, и расчет дополнительной погрешности необходимо проводить в «среднем» за период времени.
Выражение для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:
M{Δ2доп} = a2[μ2xμ2ε + σ2xσ2ε(1 + 2p2xε) + μ2xσ2ε + μ2εσ2x + 4μxμεσxσεpxε]. (6)
где pxε — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.
Здесь и в дальнейшем под обозначением με, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения μ0, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.
В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:
xh(t) = Cxsin(ωxt),
εh(t) = Cεsin(ωεt).
где Cx и Cε — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ωx и ωε — их частоты.
Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:
В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов xh(t) и εh(t) коррелированы, т. е. ωx = ωε, выражение (7) усложняется:
где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.
При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид
где ai — коэффициент влияния i-той влияющей величины.
Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.
При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:
Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.
Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий
При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.
Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:
Δ(t) = x(t) — y1(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].
Определим квадрат суммарной погрешности:
Δ2(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]2 = [x(t) — y(t)]2 + a2y
