(здесь x0 + th = х , а Dk — разности k -го порядка: Dk yi = Dk — 1 yi +1 — Dk — 1 yi ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x 0 . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х , близких к x 0 . При интерполировании функций для значений х , близких к наибольшему узлу хn , употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x , близких к xk , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление ). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).
3. Интерполяционная формула Стирлинга:
(о значении символа m и связи центральных разностей dm с разностями Dm см. ст. Конечных разностей исчисление ) применяется при интерполировании функций для значений х , близких к одному из средних узлов а ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х — k , ..., х — 1 , x 0 , x 1 , ..., xn , считая а центральным узлом x 0 .
4. Интерполяционная формула Бесселя:
применяется при интерполировании функций для значений х , близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х —k , ..., х —1 , x 0 , x 1 ,..., xk , xk + 1 , и располагать их симметрично относительно a (x 0 < а < x 1 ).
Лит. см. при ст. Интерполяция .
В. Н. Битюцков.
Интерполяция (изменение)
Интерполя'ция (от лат. interpolatio — подновление, изменение), вставка, поправка в первоначальный текст, не принадлежащая автору. Большое значение имели И. в текстах сочинений римских юристов, включенных в состав Дигест . И. оказались необходимыми для устранения противоречий в работах этих юристов, а также положений и оценок, чуждых эпохе императора Юстиниана; применялись различные виды И.: замена или уточнение нормы права; замена термина или его устранение; лексическое изменение и т. д. Впервые обнаружены в средние века гуманистами.
Интерполяция (матем.)
Интерполя'ция в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f (x ) в точках х , лежащих между точками (узлами И.) x 0 < x 1 < ... < xn , по известным значениям yi = f (xi ) (где i = 0, 1, ..., n ). В случае, если х лежит вне интервала, заключённого между x 0 и xn , аналогичная задача наывается задачей экстраполяции. При простейшей линейной И. значение f (x ) в точке х , удовлетворяющей неравенствам x 0 < x < x 1 , принимают равным значению
линейной функции, совпадающей с f (x ) в точках х = x 0 и х = x 1 . Задача И. со строго математической точки зрения является неопределённой: если про функцию f (x ) ничего неизвестно, кроме её значений в точках x 0 , x 1 ,..., хn , то её значение в точке х , отличной от всех этих точек, остаётся совершенно произвольным. Задача И. приобретает определённый смысл, если функция f (x ) и её производные подчинены некоторым неравенствам. Если, например, заданы значения f (x 0 ) и f (x 1 ) и известно, что при x 0 < x < x 1 выполняется неравенство |f ¢’’(x )| £ M , то погрешность формулы (*) может быть оценена при помощи неравенства
Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных.
Кроме вычисления значений функций, И. имеет и многочисленные другие приложения (например, при приближённом интегрировании, приближённом решении уравнений, в статистике при сглаживании рядов распределения с целью устранения случайных искажений).
Лит.: Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Крылов А. Н., Лекции о приближённых вычислениях, 6 изд., М., 1954; Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960.
Интерпретация (в программировании)
Интерпрета'ция языков программирования, один из методов реализации языков программирования на электронных вычислительных машинах (ЭВМ). При И. каждому элементарному действию в языке соответствует, как правило, своя программа, реализующая это действие, и весь процесс решения задачи представляет собой моделирование на ЭВМ соответствующего алгоритма, записанного на этом языке. При И. скорость решения задач обычно значительно ниже, чем при других методах, однако И. легче реализуется на ЭВМ, а во многих случаях (например, при моделировании работы одной ЭВМ на другой) оказывается и единственно пригодной.
Интерпретация (объяснение)
Интерпрета'ция (лат. interpretatio), истолкование, объяснение, разъяснение.
1) В буквальном понимании термин «И.» употребляется в юриспруденции (например, И. закона адвокатом или судьей — это «перевод» «специальных» выражений, в которых сформулирована та или иная статья кодекса, на «общежитейский» язык, а также рекомендации по её применению), искусстве (И. роли актёром или музыкального произведения пианистом — индивидуальная трактовка исполнителем исполняемого произведения, не определяемая, вообще говоря, однозначно замыслом автора) и в других областях человеческой деятельности.
2) И. в математике, логике, методологии науки, теории познания — совокупность значений (смыслов), придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам, символам и т. д.) какой-либо естественнонаучной или абстрактно-дедуктивной теории (в тех же случаях, когда такому «осмыслению» подвергаются сами элементы этой теории, то говорят также об И. символов, формул и т. д.).
Понятие «И.» имеет большое гносеологическое значение: оно играет важную роль при сопоставлении научных теорий с описываемыми ими областями, при описании разных способов построения теории и при характеристике изменения соотношения между ними в ходе развития познания. Поскольку каждая естественнонаучная теория задумана и построена для описания некоторой области реальной действительности, эта действительность служит её (теории) «естественной» И. Но такие «подразумеваемые» И. не являются единственно возможными даже для содержательных теорий классической физики и математики; так, из факта изоморфизма механических и электрических колебательных систем, описываемых одними и теми же дифференциальными уравнениями, сразу же следует, что для таких уравнений возможны по меньшей мере две различные И. В ещё большей степени это относится к абстрактно-дедуктивным логико-математическим теориям, допускающим не только различные, но и не изоморфные И. Об их «естественных» И. говорить вообще затруднительно. Абстрактно-дедуктивные теории могут обходиться и без «перевода» своих понятий на «физический язык». Например, независимо от какой бы то ни было физической И., понятия геометрии Лобачевского могут быть интерпретированы в терминах геометрии Евклида (см. Лобачевского геометрия ). Открытие возможности взаимной интерпретируемости различных дедуктивных теорий сыграло огромную роль как в развитии самих дедуктивных наук (особенно как орудие доказательства их относительной непротиворечивости ), так и в формировании связанных с ними современных теоретико-познавательных концепций. См. Аксиоматический метод , Логика , Логическая семантика , Модель .
