Какова бы ни была закономерность расположения чисел, она не очевидна, но речь сейчас не об этом. До тех пор, пока мы пребываем в уверенности, что можем соотнести любое вещественное число с привычным и милым нашему сердцу миром целых чисел, мы неизменно будем получать такую вот странноватую последовательность.
Итак, вы можете сунуть мне под нос этот список и похвастаться использованным правилом расположения чисел, благодаря которому любое взятое с потолка вещественное число вплоть до бесконечности обязательно где-нибудь в этом списке да найдется, а значит, бесконечность вещественных чисел равна бесконечности соответствующих им порядковых номеров, то есть целых чисел. Но как бы ни выглядел ваш список, я могу придумать вещественное число, которого там не будет.
Для простоты сосредоточимся только на знаках после запятой.
Я могу составить число, чей первый знак после запятой будет отличаться от первого знака в первом числе списка. Второй знак в моем числе не совпадает со вторым знаком второго числа. Третий знак моего числа будет отличаться от третьего знака после запятой в третьем числе списка, и так далее.
Взяв в качестве образца приведенный выше список, я могу составить число 0,3942501… Многоточие означает, что количество знаков после запятой бесконечно, как и у большинства вещественных чисел. А теперь я могу доказать, что, каким бы правилом при расположении чисел вы ни руководствовались, моего числа в вашем списке нет. Его не может там быть из-за самого метода, каким я его создавал, ведь от каждого вещественного числа в вашем списке оно отличается хотя бы на одну цифру. Это и есть тот «черный лебедь», доказывающий, что изначальное допущение, будто вы установили взаимно-однозначное соответствие между всеми вещественными и всеми целыми числами, неверно. Эти две бесконечности — бесконечность вещественных чисел и бесконечность целых чисел — существенно разнятся, на этой разнице Кантор основал целое новое направление теории чисел. Теперь, быть может, вас не удивит, что математики полагают, будто «размеров» бесконечностей не два, а гораздо больше. В действительности их бесконечно много, и, в довершение картины, данная бесконечность больше любой из бесконечностей, входящих в это количество.
Ползай с пользой!
За последние годы я оказывал компьютерную поддержку сразу нескольким научным проектам. Среди них были поиски внеземного разума, погоня за очень большими простыми числами и тестирование алгоритмов для построения трехмерного изображения белковых молекул исходя из их линейной формулы.
Причина, по которой меня попросили помочь в столь широком спектре важных научных исследований, к сожалению, почти не связана с присущими мне способностями и талантами и объясняется главным образом наличием у меня персонального компьютера.
Ученые, которые работали над этими проектами и десятками им подобных, привлекали скрытые ресурсы, таящиеся в недостаточном использовании домашними компьютерами вычислительного времени, которое в общей сложности составляет миллионы часов и позволяет добавить мощности собственным компьютерам ученых, когда требуется производить сложнейшие математические расчеты. Большую часть времени, даже когда мы работаем с домашними компьютерами, они загружены не на полную катушку. Один из первых проектов по использованию сэкономленного вычислительного времени назывался SETI — эта аббревиатура расшифровывается как Поиск Внеземного Разума — и требовал переработки огромных массивов информации, которая ежедневно поступает с устройства, закрепленного на гигантском радиотелескопе на острове Пуэрто-Рико. Поступающие данные являют собой разновидность «белого шума» — это радиоволны, хаотично испускаемые звездами и галактиками. Однако ученые надеются, что однажды среди этого шума попадется сигнал от представителей внеземной цивилизации, который будет выделяться некоторой регулярностью на фоне общей хаотичности. Скачав и установив простенькую программу, пользователи домашних компьютеров могут подключиться к анализу этой информации, которая поступает к каждому участнику программы регулярными порциями. Присоединившись к этому проекту, вы можете наблюдать, как программа на вашем компьютере анализирует полученные данные, и мечтать о том мгновении, когда ваш компьютер заметит регулярно поступающий сигнал и поставит весь мир на уши, отправив сообщение об этом в SETI.
Это была хорошая задумка, которую тут же подхватили другие ученые: им тоже требовалась обработка больших массивов данных, которая не требует сложнейшего программного обеспечения — достаточно обычного домашнего компьютера.
Такие проекты существуют по сей день, для участия в них вам всего лишь нужно подать заявку и скачать ту или иную специальную программу. Но я наткнулся на еще один хитроумный способ использования вашего и моего компьютеров, который даже не требует от нас согласия и контроля. Блуждая по Интернету, вы наверняка сталкивались с тем, что некоторые сайты просят вас распознать и ввести код из искаженных и не сразу узнаваемых цифр или букв. Это делается для того, чтобы удостовериться: сайтом пытается воспользоваться человек, а не компьютерная программа, ищущая, как бы обдурить он-лайновые сервисы — например, скупить билеты на концерт для перепродажи и взвинтить цены. Эти слова или буквенно-цифровые коды называются CAPTCHA [25].
Новые горизонты использования CAPTCHA открылись в ходе проектов по оцифровке книг, чтобы сделать их текст доступным в сети Интернет. Раньше процесс этот был весьма трудоемким и требовал, чтобы люди считывали текст и набирали его на компьютере. Позднее возникли менее затратные методы с использованием OCR (Optical Character Recognition) — программ для оптического распознавания текста, которые на высокой скорости считывают книгу и преобразуют ее в электронный документ. Однако чем старее книга, тем сложнее компьютеру распознать текст. Викторианский роман, отпечатанный мелким шрифтом на пожелтевшей и крошащейся бумаге, — твердый орешек для компьютера, в то время как у человека при чтении такой книги никаких проблем не возникает.
И тут снова на арене появляется CAPTCHA. Чтобы получить доступ к интернет-сервисам, люди вводят подобные коды более ста миллионов раз в сутки. Ученые-компьютерщики из питтсбургского университета Карнеги-Меллон показали, как можно использовать этот пустой труд, убедив владельцев некоторых сайтов использовать в качестве CAPTCHA слова, которые компьютеру не удалось распознать при оцифровке старых книг. Так, подстраховавшись, чтобы быть уверенными в правильном распознавании и использовав для этого на разных сайтах одно и то же слово, они создали систему для обработки неразборчивых слов, которые прежде требовали распознавания специалистом и введения в текст в ручном режиме. Эта система оптического распознавания текста, получившая название reCAPTCHA, во время испытаний показала точность 99,1 % (для сравнения: точность стандартной OCR — 83,5 %). За год работы этого проекта пользователи Интернета невольно расшифровали почти 500 миллионов слов, что равноценно количеству не поддающихся расшифровке слов из 17600 книг.
Так что, в следующий раз, блуждая, лазая, ползая по Интернету и столкнувшись там с кодом в виде деформированного и трудно различимого слова, изо всех сил постарайтесь разобрать его, ведь, возможно, вы не просто покупаете билет на выступление любимой группы, но еще и пополняете хранилище сокровищ мировой литературы в Интернете.
Завернутые на Моцарте
В 1890 году жителям Зальцбурга повезло — у них появилось новое лакомство, «Mozartkugeln» (в переводе на русский «шарики Моцарт»): сердцевина из фисташкового марципана под слоем нуги и темного шоколада. Традиционно эти круглые конфеты заворачивали в квадратные или прямоугольные фантики из серебристой фольги, и, конечно, часть фольги расходовалась впустую, образуя складки, неизбежные, если пытаешься обернуть шоколадный шарик плоским листком фольги.
Находясь, как все математики, в непрестанном поиске новых знаний, семейный тандем ученых из Нью-Йоркского университета — отец и сын[26] — решил установить минимальный размер кусочка фольги, необходимого, чтобы завернуть «Моцарткугель». Ведь заметное уменьшение размеров фантика позволило бы производителям конфет сэкономить на фольге.
В настоящее время используются два типа фантиков: один квадратный со стороной π ×√2, а другой прямоугольный со сторонами π и 2π. (Отрадно осознавать, что еще до того, как к «Моцарткугелям» потянулись руки американских математиков, в разработке фантиков использовался математический расчет.) В обоих случаях площадь обертки приблизительно на 60 % превышает площадь поверхности конфеты, из-за чего около трети идущей на фантики фольги пропадает впустую.
