Покажем, что у полученного сечения не существует пограничного числа, то есть, что ни в левом классе нет наибольшего числа, ни в правом классе нет наименьшего.
Проведем доказательство лишь первого утверждения, поскольку второе доказывается аналогично. Отсутствие наибольшего числа в левом классе означает, что какое бы положительное рациональное число а, квадрат которого меньше двух, мы ни взяли, существует такое целое число n > 0, что (а + 1/n)2 < 2. Это значит, что рациональное число a + 1/n также будет принадлежать левому классу и, следовательно, A не может считаться наибольшим.
Будем исходить из очевидно верного утверждения, что для любого положительного рационального числа а, квадрат которого меньше двух, существует такое целое положительное число n, что выполняется неравенство
(2a+1)/(2-a2) < n
Действительно это утверждение может быть получено по аксиоме Архимеда (для любого рационального числа можно найти натуральное число, его превосходящее). Но неравенство(1), как легко установить с помощью простых тождественных преобразований, равносильно неравенству
2a/n + 1/n < 2 - a2
Поскольку 2a/n + 1/n2 << 2a/n + 1/n. то верно, что 2a/n + 1/n2 < 2 - a2, а это неравенство равносильно неравенству (а + 1/n)2 < 2. Утверждение доказано[7].
Теория Дедекивда основана на том, что действительные числа отождествляются с сечениями в области рациональных чисел. Это удается сделать потому, что для сечений оказывается возможным определить операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношения равенства и неравенства. При этом сечения, имеющие пограничные числа, отождествляются с рациональными числами, а сечения, не имеющие пограничных чисел с иррациональными (сечение в рассмотренном нами случае отождествляется с числом √2)[8].
При ознакомлении с теорией сечений может возникнуть недоумение: как можно определять (действительные) числа через объекты, как будто, совершенно другой природы? Но это недоумение легко снимается. В самом деле, что такое числа? Можно считать, что это — такие сущности, которые могут находиться в определенных отношениях и над которыми можно производить определенные операции, причем эти отношения и операции обладают определенными свойствами (коммутативность, дистрибутивность и т. д.). Сечения как раз и могут находиться в отношениях равенства и неравенства и допускают такие операции над собой, которые обладают нужными свойствами. Определены же сечения, как считал Дедекинд, абсолютно четко и логично — они введены на основе рациональных чисел, по поводу которых никаких сомнений у математиков не возникает.
Подход Дедекинда был заметным шагом вперед в уяснении «природы» математического анализа. Он позволил создать стройную теорию действительных чисел, в частности, доказать важную теорему о свойстве сплошности (непрерывности) множества действительных чисел, на которую опираются все главные теоремы анализа. Теория Дедекинда была основана, однако, на идее, которая впоследствии оказалась уязвимой для критики, на идее актуально бесконечного множества. К ее рассмотрению нам теперь и следует обратиться.
В теории Вейерштрасса иррациональные числа понижаются как бесконечные непериодические дроби, то есть Ограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении В теории Дедекинда всякое действительное число — это «компактная» система из двух объектов: левого и правого классов сечения во множестве рациональных чисел. И все же и в этой теории фатальный призрак трудностей, связанна с идеей бесконечности, призрак, преследующий математику с античных времен[9], не изгоняется, а лишь маскируется под нечто «конечнообразное»: ведь множества, образующие левый и правый классы, бесконечны.
Дедекиндово построение хорошо раскрывает нам образ мышления, который был присущ нескольким поколениям ученых. Всмотримся пристальнее в ход рассуждений, ведущих к определению действительного числа по Дедекинду. В нем можно усмотреть два пункта, уязвимых для критики.
Пункт первый. Каждый из двух классов сечения мыслится как единый объект, как нечто данное сразу и целиком. Но ведь бесконечное множество нельзя за конечное время перебрать «поэлементно», и его задание - «эффективное» задание, то есть такое, при котором с ним можно «фактически» работать, требует указания метода установления того, что произвольный элемент принадлежит или не принадлежит данному множеству. Иногда такой метод, однако, может приводить к выкладкам, которые нельзя реально осуществить. Именно так обстоит дело в теории Дедекинда, которая предполагает, что для любого сечения мы умеем ответить на вопрос, к какому из двух его классов — левому или правому — принадлежит произвольное рациональное число.
Проиллюстрируем возникающую здесь ситуацию на примере. Как, скажем, может производиться разбиений области рациональных чисел, дающее сечение для числа е. Заметим предварительно, что при вычислении этого числа с наперед заданной точностью пользуются его представлением в виде ряда
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ...
Предположим что задано рациональное число R1 = 2,7182 и нужно отнести его к левому или правому классу. Для этого мы должны будем вычислить е с точностью, дающей не менее пяти знаков после запятой, что означает взятие в приведенном ряде девяти слагаемых. Суммирование их дает число 2,71828. Сравнивая R1 с этим числом, мы приходим к заключению, что R1 принадлежит к левому классу, поскольку к этому классу принадлежит любое конечное приближений числа е, найденное с помощью приведенного выше ряда (оно всегда меньше e, так как при прибавлении новых членов ряда мы только увеличиваем сумму). Легко сообразить, что если проверяемые числа будут достаточно "длинными"), фактическое осуществление подобной проверки станет невозможным не только для человека, но и для ЭВМ. Но это еще не все. Данный пример показывает, что для «фактического» осуществления разбиения, то есть «точного» выяснения вопроса, что же представляет собой сечение для е, нужно «пробежаться по бесконечности» — произвести неограниченно большое число процедур получения все возрастающих сумм указанного ряда.
Пункт, второй. Если мы и построим сечения для каких-то иррациональных чисел, давая для них правила отнесения к соответствующему (левому или правому) классу любого рационального числа, то эти сечения далеко не исчерпают всех иррациональных чисел. По существу, сечения можно дать только для ничтожной доли всех действительных чисел. Но тогда спрашивается: откуда же в нас возникает убеждение, что действительных чисел неизмеримо больше, чем осуществленных сечений? Если разобраться в этом, мы придем к выводу, что оно появляется как результат специфического акта воображения: перед нашим внутренним взором пробегают, вереницы бесконечных десятичных дробей Вейерштрасса, с каждой из которых связано некое сечение.
Эти уязвимые для критики пункты подрывают теорию сечений — мы убеждаемся, что с нею, как и без нее, от бесконечностей никуда не уйдешь. Но она представляла собой важное методологическое достижение, учитывающее новые элементы научного видения математиков. Философской основой этого видения был так называемый математический платонизм.
В своей знаменитой «теории идей» Платон утверждал, что чувственно воспринимаемые объекты есть лишь бледные копии идей («эйдосов»), существующих в неком идеальном мире. Эйдосы существуют там более реально, чем существуют в материальном мире обычные вещи, поскольку Зычные вещи со временем разрушаются и исчезают, а идеи вечны и поскольку вещи имеют дефекты и изъяны, а идеи совершенны. Исходя из этого основного положения, Платон обсуждал свойства идей и их отношение к вещам, пользуясь для этого формальной логикой естественного языка.
Было бы абсурдно утверждать, что математики XIX века сплошь увлекались Платоном. На деле у них были самые различные философские взгляды, но в своем отношении к математическим объектам почти все они стояла на точке зрения стихийного платонизма.
Уклон в сторону платонизма создавала сама тогдашняя математика. Об этом хорошо сказал Бертран Рассеяв «Я полагаю, что математика является главным источников веры в вечную и точную истину, а также сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Чистая математика также льет воду на мельницу мистических доктрин об отношении времени к вечности, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой бог является геометром, а также представление сэра Джемса Джинса о том, что бог предается арифметическим занятиям»[10]. Здесь обрисован один из источников разбираемой философской установки. Дальнейшие мы укажем ниже.
