Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?
Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2·2·2·2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н. н, н) следует положить равной 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = 1—0,2 — вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию «в цель попадают три раза» благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у). (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:
0,2·0,2·0,2·0,8 =...... =0,8·0,2·0,2·0,2 = 0,0064;
следовательно, искомая вероятность равна
4·0,0064 = 0,0256.
Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул В. т.: если события A1 , A2 ,..., An независимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно m из них равна
Pn (m ) = Cn m pm (1 - p ) n-m ; (4)
здесь Cn m обозначает число сочетаний из n элементов по m (см. Биномиальное распределение ). При больших n вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности
Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема )
причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем В. т.
К числу основных формул элементарной В. т. относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1 , A2 ,..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме
Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний T1 , T2 ,..., Tn-1 , Tn , если каждый исход испытания Т есть совмещение некоторых исходов Ai , Bj ,..., Xk , Yl соответствующих испытаний T1 , T2 ,..., Tn-1 , Tn . Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности
P (Ai ), P (Bj /Ai ), …, P (Yl /Ai Ç Bj Ç … Ç Xk ). (5)
По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р (Е ) для всех исходов Е составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P (Ai ), P (Bj ),..., P (Yl ); б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно: P (Ai ), P (Bj /Ai ),..., P (Yi / Xk ). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями Р (Аi ) и переходными вероятностями P (Bj / Ai ),..., P (Yl / Xk ) (см. также Марковский процесс ).
Случайные величины. Если каждому исходу Er испытания Т поставлено в соответствие число х,, то говорят, что задана случайная величина X . Среди чисел x1 , х2 ,......, xs могут быть и равные; совокупность различных значений хг при r = 1, 2,..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения ). Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j ) связывается случайная величина Х = i + j — сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4,..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36,..., 2/36, 1/36.
При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
{X1 = x1 }, {X2 = x2 }, …, {Xn = xn } , (6)
где xk — какое-либо из возможных значений величины Xk . Случайные величины называются независимыми, если при любом выборе xk события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например события a < X1 + Х2 +... + Xn < b и т.п.
Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия .
В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т.п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).
Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т.д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других — результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т.п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения , Плотность вероятности ).
Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.
Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ В. т. разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи — методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определённые числа Р (A ), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям
