1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;
2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.
Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.
Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х1, x2, x3…, хi…., xk, и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность Px. Тогда ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид Px,Px1,Px2,…,Pxi,…,Pxk.
Очевидно, что вероятность Px является некоторой функцией от переменной х и имеет вид: Px = f(х), где x = xi, i = 1, 2…, k.
Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.
1. Случайная величина – дискретная (прерывная).
Случайная величина х < х', где х < х' задано, может выражаться следующим образом:
Функция F(х)=F(х') называется функцией распределения случайной прерывной величины ч. 2. Случайная величина – непрерывна. Плотностью вероятности Px в точке X = х называется предел вида
Следовательно, функцию F(х') можно дифференцировать, тогда
F (х)=f (х)
Основные свойства функции распределения следующие:
1) х = ∞;F(∞)= 1;
2) х = —∞;F(∞) = 0;
3) если аргумент x возрастает, т. е. если рассмотреть случай х2 > х1, то F(x2) > F(x1).
Если рассмотреть ΔF(х)=F(х2)-F (х1) то
6. Статистика распределения случайных величин
Основные характеристики случайных величин.
1. Меры положения.
Таковыми называют (считают) точки, вокруг которых происходит колебание характеристики величин.
Сумма произведений эмпирических значений случайной величены xi на соответствующие частности называется выборочным средним
– это статистическая характеристика, соответствующая параметрам, т. е. теоретическому анализу, называемая средним значением случайной величины или математическим ожиданием случайной величины.
Математическое ожидание обозначается как
или м.о.(х), и определяется по уже известному теоретическому распределению.
При прерывности случайной величины
где p(x) – функция, которая определяет вероятности p(x) для всех xi случайной величины. При непрерывности случайной величины
где f(x) – плотность вероятности,
F(x) – функция распределения случайной величины.
Кроме вышеприведенных оперируют следующими мерами положения:
1) среднее гармоническое;
2) среднее логарифмическое;
3) скользящее среднее;
4) накопленное среднее.
Но эти меры используются не очень часто.
2. Меры рассеяния.
Если меры положения характеризовали точки, вокруг которых происходило колебание значений случайных величин, то меры рассеяния характеризуют группировку самих значений колеблющейся величины x или xi
Подхарактеристика мер рассеяния:
1. Выборочное среднее абсолютное отклонение
– абсолютное отклонение наблюденного значения xi случайной величины от выборочного среднего.
2. Выборочная дисперсия S2; она характеризует рассеяние или однородность случайной величины xi
7. Выборочное среднеквадратичное отклонение
Эта характеристика пользуется наибольшей популярностью:
При n1 = n2 =... = nk = 1, т. е. в случае несведения в разряды наблюденных значений xi,
Дисперсией δ2 теоретического распределения прерывной случайной переменной является математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины х от ее определенного значения xо ,т. е.
Это математическое ожидание представляет собой: если случайная величина прерывная, то
где p(xk) – вероятность случайной величины хk
Роль в теории вероятности среднего квадратичного отклонения наглядно показывает неравенство Чебы-шева, которое имеет вид:
где x – случайная величина;
хо – ее математическое ожидание;.
f > 0 – некоторый численный коэффициент.
Если взять t = 3, то из (40) следует:
что означает вероятность отклонения случайной величины x от своего среднего значения на величину большую, чем 3δ. Причем полученный результат справедлив при любом теоретическом распределении.
Как разновидностью меры рассеяния в приборостроении, пользуются коэффициентом изменчивости – вариации.
3. Еще одной важной разновидностью меры рассеяния в приборостроении для статистического анализа и контроля является размах выборки W, его также называют широтой эмпирического распределения.
W = ximax = ximin
Как видно из формулы, размах выборки характеризует однородность наблюденных значений случайной величины хг В зависимости от знака W, можно заключить об отношении случайной величины к мере положения (конкретно, выборочной медиане), что и видно из следующей системы:
8. Теоремы о средних значениях и дисперсиях
Теоремы о средних значениях и дисперсиях дают представление о том, как себя поведут средние значения и дисперсии при объединении нескольких выборок, у каждой из которых есть свое средневзвешенное значение случайной величины.
Пусть объемы N1, N2, ... ,Nk, которые имеют соответствующие средневзвешенные х1, x2, …, xk, объединены в одно.
Теорема 1. Математическое ожидание (среднее значение) суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий (средних значений).
То есть математическое ожидание суммы
точно так же себя ведет дисперсия.
Теорема 2. Дисперсия объединенной выборки S2 равна средневзвешенной из дисперсий отдельной выборки, сложенной с дисперсией средних xi частных выборок, т. е. если дисперсии S12,S22, …,Sk2 ־ принадлежат выборкам N1, N2, ... ,Nk, то в случае объединения этих выборок общая дисперсия
Очевидно, что объемы N1, N2, Nkобъединены в одну выборку с соответствующими дисперсиями
S12,S22, …,Sk2
Вторым слагаемым является дисперсия средних xi частных выборок около среднего объединенной выборки х. Поэтому очевидно, что
то второе слагаемое тоже равнялось бы нулю. В таком случае
где S2 – средневзвешенная из дисперсий исходных выборок.
Таким образом, дисперсия суммы (или разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
В общем случае,
9. Закон распределения Пуассона и Гаусса
Закон Пуассона. Другое название его – закон ра-определения редких событий. Закон Пуассона (З. П.) применяется в тех случаях, когда маловероятно, и поэтому применение Б/З/Р нецелесообразно.
Достоинствами закона являются: удобство при вычислении, возможность вычислить вероятность в заданном промежутке времени, возможность замены времени другой непрерывной величиной, например, линейными размерами.
Закон Пуассона имеет следующий вид:
и читается следующим образом: вероятность появления события А в m раз при n независимых испытаниях выражается формулой вида (59), где а = пр – среднее значение p(A), причем а является единственным параметром в законе Пуассона.
Закон нормального распределения (закон Гаусса). Практика неуклонно подтверждает, что закону Гаусса с достаточным приближением подчиняются законы распределения ошибок при измерениях самых различных параметров: от линейных и угловых размеров до характеристик основных механических свойств стали.
Плотность вероятности закона нормального распределения (в дальнейшем Н. Р.) имеет вид
где x0 – среднее значение случайной величины;
τ – среднее квадратическое отклонение той же случайной величины;
e = 2,1783… – основание натурального логарифма;
Ж – параметр, который удовлетворяет условию.
Причина широкого применения закона нормального распределения теоретически определяется теоремой Ляпунова.
