Как-то я шел по лесу с девочкой девяти лет. Это была весьма легкомысленная особа, любившая самые глупые забавы. Ребенок как ребенок — шаловливый, шумный. Я сказал ей: «Нужно идти домой», — потом добавил для усиления эффекта: «Домой идти нужно». И тут мне пришла мысль поиграть со своей спутницей. Я спросил ее:
— А сколько раз можно сказать эту фразу, переставляя по-разному ее слова?
— Шесть раз, — ответила она без малейшей паузы.
Я преподавал математику во многих вузах, поэтому смог оценить быстроту счета. Заметьте: я воспринял мгновенный ответ именно как молниеносный перебор в уме всех возможных вариантов построения фразы. Уже через несколько секунд я обнаружил, что жестоко ошибся.
- А если бы было четыре слова? — спросил я, сам не зная для чего, просто, чтобы поддержать разговор.
— Двадцать четыре, — ответила она, не прекращая даже занятия, которым в тот момент была поглощена, — обрывания лепестков у ромашки.
Мне стало не по себе. Тихим голосом я задал следующий вопрос:
— А если пять слов?
На этот раз она перестала заниматься цветком и взглянула на меня с искрой любопытства в глазах.
— Ну что ж, это можно подсчитать... двадцать четыре умножить на пять... сто двадцать!
Теперь уже сомнений не было: ученица третьего класса самостоятельно открыла формулу для числа перестановок из n элементов —
Рn = n!но не знала, что сделала открытие, ибо эта формула казалась ей слишком очевидной.
Девочка со столь блестящими способностями, с таким сильным и ясным мышлением, разумеется, не могла задать традиционного вопроса «середняка» — «Зачем это нужно?». Гимнастика была просто необходима ее великолепно устроенному уму. И потом, когда мы начали заниматься математикой серьезно и систематически, она ни разу не задумалась над проблемой практической полезности тех знаний, которые я ей сообщал. Для нее было самым естественным и приятным занятием решать задачи, если они не были очень уж простыми.
Итак, реакция «А для чего это может понадобиться?», если она у вас возникла при чтении текстов приведенных шести задач, означает, что первый же тур экзаменов вами не пройден и математик из вас не получится. Конечно, существует множество других не менее достойных профессий, и вы наверняка найдете себя в одной из них. Но мы сейчас говорим о математике. Однако те, кто был задет за живое нашими задачами, кого они вдохновили на размышления, не должны еще считать себя проигравшими спор. Впереди следующие туры проверки.
Великий французский математик Анри Пуанкаре сказал как-то: «Всякий хороший математик должен быть хорошим шахматистом, и, наоборот, кроме того, математик должен быть и хорошим вычислителем...
Но существуют и исключения, а может быть, я и неправ, называя их исключениями, ибо они, возможно, более многочисленны, чем случаи, подтверждающие правило...
Что касается меня лично, то я должен признаться: я абсолютно не способен сложить два числа без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю в шахматы».
Пуанкаре говорит об этом как о парадоксе. На самом деле: странно, что математики в общем не выделяются в качестве шахматистов среди остальных людей, хотя в других, казалось бы, значительно меньше связанных с математическим мышлением занятиях (например, в раскройке тканей или в починке электропроводки) они имеют заметные преимущества. Парадоксальность ситуации проявится еще резче, если принять известный тезис «математик сделает это лучше», под которым понимается, что в случае, когда двум людям, из которых один — математик, а другой — нет, поручается одинаково незнакомая для них работа, то первый справляется с ней успешнее. Есть серьезные экспериментальные подтверждения этого тезиса, конечно, если понимать его в статистическом смысле. Но коль скоро математическая одаренность помогает в любом деле, то почему же она не сказывается на умении играть в шахматы — в игру, которую можно рассматривать как математическую?
Чтобы попытаться объяснить видимое противоречие, подойдем к нему еще с одной стороны.
В Советском Союзе, как, вероятно, и во всех других странах мира, существует значительное число людей, посвящающих большие и длительные усилия разрешению «вечных» математических головоломок. В Академию наук и другие учреждения непрерывно поступает поток «доказательств» великой теоремы Ферма, «методов» квадратуры круга и т. д. Мне прислал недавно письмо некий энтузиаст, который, по его словам, уже в течение сорока лет занимается проблемой трисекции угла. К письму было приложено только что найденное автором «окончательное решение» древней задачи (конечно же, в рассуждении содержалась грубая ошибка). Будем называть тружеников такого сорта «ферматистами», даже если объектом их настойчивого стремления служит не доказательство теоремы Ферма, а решение какой-то другой проблемы такого же класса трудности.
Так вот, можно ли отнести представителей этого многочисленного отряда ферматистов — изобретателей, открывателей и реформаторов математических методов — к математикам?
Решительный ответ таков: нет, нет и еще раз нет. Несмотря на некоторую осведомленность в математических вопросах, знание соответствующей литературы (хотя бывают и совершенно невежественные ферматисты), несмотря на любовь и уважение к математике, несмотря на пылкость и трудолюбие, эти люди не имеют никакого права на то, чтобы называться математиками. Этого права их лишает полная бесплодность работы.
Математика часто представляют романтиком, идеалистом. В действительности он самый большой реалист. Но его реализм заключается не в узком утилитаризме, не в стремлении выжать из всего практическую пользу (об отсутствии таких тенденций, особенно у молодых математиков, мы уже говорили подробно), а в том, что он никогда не возьмется за какое-то дело, если не видит с достаточной ясностью возможности довести это дело до конца.
Ферматиста, по-видимому, привлекает сам процесс размышлений и поисков; математика влечет результат — не практический, а математический результат, решение поставленной задачи. Для ферматиста не существенно, если процесс исканий бесконечно затягивается, — тем дольше живет иллюзия творчества. Для математика топтание на одном месте невыносимо.
Мышление ферматиста можно охарактеризовать как сумеречное. Он живет в неясном ожидании некоего чуда и не обладает достаточной решимостью признаться самому себе, что чуда не произойдет. Рассуждая поверхностно, отворачиваясь от всего, что может принести ему огорчение, он создает для себя искусственную ситуацию и с неизбежностью все дальше запутывается в самообмане. По прошествии нескольких лет бессмысленных, но дорогих ему усилий он оказывается настолько вовлеченным в систему лжи, что отбросить ее уже не может. Такое встречается иногда н в других областях, например, в политической деятельности. Но там трусость и связанное с ней самоослепление чреваты страшными последствиями (вспомните судьбу «теоретиков», оправдывавших и обосновывавших нацизм), в то время как в математике или в других близких научных вопросах добровольное отгораживание себя от реальности не приводит к трагической развязке. Ферматист сколь угодно долго может пребывать в не приносящем ему особой радости, но устойчивом состоянии равновесия.
Мышление математика последовательно и бескомпромиссно. Как бы ни были ему неприятны какие-то выводы, он принимает их, если они неизбежно следуют из достоверных фактов или принятых аксиом. Он стремится дойти во всяком рассуждении до самых основ, обрести полную ясность.
Самая большая любовь математика — любовь к простоте. Она является основной движущей силой его деятельности. Ему ненавистны завуалированность, недосказанность, двусмысленность, намеки, многозначительные недоговорки. Когда он сталкивается с запутанной ситуацией, которую многие другие люди, например, некоторые представители художественных профессий, очень любят (считая, что запутанность означает сложность, а сложность означает богатство содержания), у него появляется дьявольски сильное желание разрубить ее прямолинейным ударом меча.
Именно с прагматизмом математика, с его непреоборимой тягой к определенности и конкретности результата связано его равнодушное отношение к шахматам. Возможно, математик, если бы захотел, играл бы несколько лучше нематематика. Но все дело в том, что для него эта игра не представляется интересной. Вот если бы она была несколько попроще — вроде «игры в 15» — и допускала бы полный обсчет, тогда бы этот обсчет представлял для математика любопытную задачу, которую он мог бы взяться решить. Но дать точную теорию шахматной игры пока невозможно. А выигрывать отдельные партии — занятие частное, не допускающее обобщения, не имеющее «выходов» в какие-то другие части интеллектуального царства, короче говоря, в прагматическом смысле бесперспективное. Играть в шахматы можно учиться всю жизнь, но никогда нельзя научиться играть абсолютно правильно. Поэтому с точки зрения математики шахматы являются чем-то вроде теоремы Ферма — топтанием на месте, упражнением, не приводящим к результату. В этом и заключается частичное объяснение парадокса Пуанкаре.
