Читаем без скачивания Как же называется эта книга - Рэймонд Смаллиан

Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109.

Если в качестве P принято высказывание "В - рыцарь", то ясно, что A должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, B рыцарь, и мы получаем ответ:

A и B - оба рыцари.

В задаче 110 в качестве P выберем высказывание "А придется съесть свою шляпу". Мы видим, что A должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)

Ответ к задаче 111: A - рыцарь.

Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание "Если я рыцарь, то дважды два - пять" не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.

113. A должен быть рыцарем, а B - лжецом.

Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида "Если P, то я лжец". Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания.

Значит, если высказывание "Я лжец" истинно, то полное высказывание "Если P, то я лжец". также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение "Если P, то я лжец", я должен быть рыцарем.

Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B рыцарь, то A - лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является /* Любое высказывание, из которого следует ложное высказывание, должно быть ложным, так как из истинного высказывания не может следовать ложное высказывание. В решении задачи 113 из высказывания "В - рыцарь" следует ложное высказывание "А - -- лжец".

Значит, высказывание "В - рыцарь" должно быть ложным.

Это еще один вариант доказательства от противного.*/.

Следовательно, B - лжец.

114. A в действительности утверждает: "Не верно, что X виновен, а Y не виновен". Но это то же самое, как если бы A утверждал: "Либо X не виновен, либо Y виновен".

Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.

115. Предположим, что A - рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B "Если A - рыцарь, то C рыцарь" истинно. Но (по предположению) A - рыцарь. Следовательно, C рыцарь (в предположении, что A - рыцарь).

Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь /* Мы сделали это, приняв в качестве посылки высказывание "А - рыцарь", из которого вывели заключение "С - рыцарь". В силу факта (1) об импликации мы заключаем, что если A - рыцарь, то C - рыцарь.*/. Именно это и утверждал B. Следовательно, B - рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B - рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое - рыцари.

116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.

Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.

Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.

117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение "Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн" должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.

Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.

118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть P - высказывание "Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет". Нам известно:

1) Если P истинно, то я люблю Еву.

2) Если я люблю Еву, то P истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание P, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.

119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них.

По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.

120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными.

Следовательно, я не могу быть лжецом.

121. Сказать: "P ложно, если не Q" - то же самое, что сказать: "Если P, то Q". (Например, высказывание "Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной" эквивалентно высказыванию "Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной".) Следовательно, "исправленный" вариант пословицы "Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать" эквивалентно утверждению "Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают", а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.

122. Определить, кто такой A - рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.

Для решения этой и других задач серии "Есть ли сокровища на этом острове?" установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий рыцарь или лжец).

Пусть K - утверждение о том, что говорящий - рыцарь.

По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий - рыцарь или лжец, P должно быть истинно.

Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109--112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Если я рыцарь, то P", то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.

123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.

Пусть G - утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а K утверждение о том, что A - рыцарь.

Отвечая на ваш вопрос отрицательно, A тем самым заявляет, что G не эквивалентно K. Предположим, что A - рыцарь.

Тогда G действительно не эквивалентно K. Так как A - рыцарь, то K. истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению K, должно быть ложным.

С другой стороны, предположим, что A - лжец. Тогда G в действительности эквивалентно K (поскольку лжец сказал, что G и K не эквивалентны). Но K - ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению K. Таким образом, независимо от того, кто такой A рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.

[Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по "рыцарям и лжецам".

Предположим, что P - любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания P.