Книга II
Архимед приветствует Досифея.
Ты уже просил меня написать доказательства для тех проблем, формулировки которых я посылал к Конону; при изложении большей части их приходится пользоваться теоремами, доказательства которых я уже послал тебе, а именно: [...]
Утверждение 3
Третья задача была такова: данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному.
ОБ ИЗМЕРЕНИИ КРУГА
Утверждение 1
Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника.
Утверждение 2
Круг к квадрату со стороной, равной своему диаметру, относится, как И к 14.
Утверждение 3
Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых частей.
О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ
Утверждение 4
Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что меньший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга.
Утверждение 6
Площади, ограниченные эллипсами, находятся друг к другу в таком же отношении, как прямоугольники между диаметрами эллипсов.
Утверждение 19
Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого- нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него объемную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, которая меньше любой наперед заданной величины.
Утверждение 21
[...] Всякий сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси, будет в полтора раза больше конуса, имеющего те же самые основания и ось, что и сегмент.
Утверждение 27
Если какую-нибудь сфероидальную фигуру рассечь плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к оси,
то половина сфероида будет вдвое больше конуса, имеющего то же самое основание и ту же ось, что и сегмент.
О СПИРАЛЯХ
В книгах, которые были посланы через Гераклида, ты имеешь запись большей части тех ранее посланных Конону теорем, доказательства которых ты все время просил меня дать; в этой же книге я посылаю тебе запись некоторой части из оставшихся.
Утверждение 1
Если некоторая точка равномерно движется по какой-нибудь линии и на последней берутся две линии, то взятые линии будут иметь друг к другу то же самое отношение, что и времена, в течение которых точка прошла эти линии.
Утверждение 24
Площадь, заключенная между спиралью, описанной в течение первого оборота и первой из прямых, находящихся на начале вращения, будет третьей частью первого круга.
О РАВНОВЕСИИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Книга I
Сделаем следующие допущения.
1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.
Утверждение 1
Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны.
Утверждение 2
Неравные тяжести на равных длинах не уравновешиваются, но перевешивает большая.
Утверждение 6
Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям.
Утверждение 7
И далее, если величины будут несоизмеримыми, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам.
Утверждение 10
У всякого параллелограмма центром тяжести будет точка, в которой встречаются диаметры (то есть диагонали).
Утверждение 14
У всякого треугольника центром тяжести будет точка, в которой встречаются прямые, проведенные из углов к серединам сторон.
Книга II
Утверждение 8
У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания.
ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК (ПСАММИТ)
Архимед Гелону
Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.
[...] Что касается меня, то я постараюсь показать тебе при помощи геометрических доказательств, которые ты можешь понять, что среди чисел, которые получили от нас название и опубликованы в адресованной (мной) Зевксиппу книге, некоторые превосходят не только число песчинок в объеме, равном заполненной, как мы сказали, Земле, но даже в объеме, равном миру. Как ты знаешь, большинство астрономов называют миром шар, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен прямой, заключающейся между центрами Солнца и Земли. Но Аристарх Самосский [...] предполагает, что неподвижные звезды и Солнце находятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности, расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг, по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо известно, что это невозможно, так как центр сферы не имеет никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы...
Сделаем следующие предположения: во-первых, окружность Земли составляет приблизительно 300 мириад стадиев, но не больше, [...] затем, что диаметр Земли больше диаметра
Луны, а диаметр Солнца больше диаметра Земли, принимая то же, что и большинство предшествующих астрономов, [...] далее, что диаметр Солнца приблизительно в тридцать раз больше диаметра Луны, но не больше, хотя из предшествующих астрономов Евдокс считал его только в девять раз больше, Фидий же, мой отец, — в двенадцать раз больше, а Аристарх пытался доказать, что диаметр Солнца более чем в восемнадцать раз, но менее чем в двадцать раз больше диаметра Луны.
[...] Кроме того, я думаю, что было бы полезным изложить здесь правила наименования чисел, чтобы другие (читатели), которые не имели в руках книги, написанной мной Зевксиппу, не затруднялись тем, что в настоящей книге об этих числах ничего не сказано. Так вот для чисел до десятков тысяч (мириад) остаются обычно употребляемые нами названия, после же десятков тысяч, как мы полагаем, достаточно считать мириадами вплоть до мириады мириад. Упомянутые до сих пор числа вплоть до мириады мириад назовем первыми, а мириаду мириад первых чисел назовем единицей вторых чисел, далее будем считать единицы вторых чисел и из таких единиц составим десятки, сотни, тысячи и мириады вплоть до мириады мириад. Затем мириаду мириад вторых чисел назовем единицей третьих чисел; после этого будем считать единицы третьих чисел, а за единицами десятки, сотни, тысячи и мириады вплоть до мириады мириад. Таким же образом, мириаду мириад третьих чисел назовем единицей четвертых чисел, а мириаду мириад четвертых чисел назовем единицей пятых чисел. Продолжая так постоянно, мы дадим названия числам вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел.
Вполне достаточно знать числа только до этих пор, но можно идти и далее. Действительно, пусть упомянутые до сих пор числа называются числами первого периода, а последнее число первого периода назовем единицей первых чисел второго периода. Далее мириаду мириад первых чисел второго периода назовем единицей вторых чисел второго периода. Точно так же последнюю единицу этих чисел назовем единицей третьих чисел второго периода; если постоянно продолжать таким образом, то числа второго периода получат имена вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел. Далее, последнее число второго периода назовем единицей первых чисел третьего периода и будем так продолжать вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел мириадо-мириадного периода. [...]
