Быть может, мои читатели вместе с приятелями-философами захотят подсчитать точное число дней. Разумеется, в головоломках такого типа предполагается, что сутки делятся пополам на 12 дневных и 12 ночных часов.
107. Четыре принца. Владения одного восточного монарха представляли собой правильный квадрат. Однажды он обнаружил, что его четыре сына не только чинят козни друг против друга, но тайно бунтуют и против него самого. Выслушав своих советников, король решил, что не стоит заточать принцев в темницу, и распорядился отправить их в четыре угла страны, где каждому выделялась треугольная территория равной площади, границы которой принц не смел пересекать под страхом смерти. Королевский топограф столкнулся, естественно, с огромными трудностями, вызванными дикой природой этого края. В результате оказалось, что хотя каждому принцу и была выделена территория равной площади, но все четыре треугольных района оказались различны по форме; получилось нечто вроде того, что показано на рисунке.
Головоломка состоит в том, чтобы привести длины всех сторон для каждого из четырех треугольников, причем эти длины должны выражаться наименьшими возможными целыми числами. Другими словами, требуется найти (с наименьшими возможными числами) четыре рациональных прямоугольных треугольника равной площади.
108. Платон и девятки. Как в древности, так и в наше время числу 9 приписывались мистические свойства. Мы знаем, например, что было девять муз, девять рек Гадеса и что Вулкан девять дней падал с небес. Далее существует тайное поверье, что человека делали девять портных; известно также, что есть девять планет, что у кошки девять жизней (а иногда и девять хвостов).
Большинство людей сталкивалось с некоторыми странными свойствами числа 9 в обыкновенной арифметике. Например, выпишите какое-нибудь число, содержащее столько цифр, сколько вы пожелаете, сложите эти цифры и вычтите полученную сумму из первого числа. Сумма цифр в этом новом числе всегда будет кратна девяти.
Жил когда-то в Афинах богатый человек, который был искусен в арифметике и имел склонность к мистике. Он был глубоко убежден в магических свойствах числа 9 и постоянно наведывался в рощи Академии, надоедая бедному Платону со своими абсурдными идеями относительно того, что он называл «счастливым числом». Однако Платон придумал способ, как от него избавиться. Когда этот провидец попытался однажды втянуть его в долгую дискуссию на свою излюбленную тему, философ оборвал его замечанием:
– Послушай-ка, приятель, – это наиболее точный перевод фамильярного обращения с древнегреческого, – когда ты принесешь мне решение вот этой небольшой тайны, касающейся трех девяток, я буду рад тебя выслушать и даже готов записать тебя на свой фонограф для будущих поколений.
Затем Платон указал, как вы видите на рисунке, на то, что три девятки можно расположить в виде дроби таким образом, чтобы они изображали число 11. Головоломка же состояла в том, чтобы изобразить с помощью трех девяток число 20.
Хроники упоминают о том, что престарелый любитель чисел бился в поте лица над этой задачей девять лет и однажды в девять часов утра на девятый день девятого месяца упал с девяти ступенек, выбил себе девять зубов и умер через девять минут после этого. Стоит вспомнить, что 9 было его счастливым числом. Таковым же оно, очевидно, было и для Платона.
Для решения этой небольшой задачи требуются лишь самые элементарные арифметические знаки. Хотя ответ, когда вы его узнаете, окажется невероятно прост, чтобы получить его, многим читателям придется немало поломать голову. Возьмите карандаш и прикиньте, как расположить три девятки, чтобы они изобразили число 20.
109. Крестики-нолики. Каждый ребенок знает правила этой игры. Вы рисуете квадрат, разбитый на девять клеточек, и каждый из двух игроков по очереди ставит свой знак (обычно крестик или нолик) в свободную клеточку, добиваясь, чтобы три его знака оказались на одной прямой. Тот из игроков, кому удается это сделать первым, выигрывает с восторженным криком:
Tit, tat, toe,My last go;Three jolly butcher boysAll in a row![20]
Это очень древняя игра. Но если два игрока владеют ею в совершенстве, то должно случиться лишь одно из трех событий:
1) первый игрок выигрывает;
2) первый игрок проигрывает;
3) игра оканчивается вничью.
Какое именно из этих трех событий должно произойти?
110. Игра Овидия. Изучив «Крестики-нолики», мы рассмотрим теперь, какое развитие может получить эта игра; явно о ней упоминается в одном из произведений Овидия. Это по существу прародительница игры, о которой говорится в пьесе Шекспира «Сон в летнюю ночь» (действие II, сцена 2). У каждого из игроков имеется по три шашки. Они поочередно ставят их на девять позиций, которые вы видите на рисунке, стремясь расположить все свои шашки на прямой и тем самым выиграть партию. Но и после того, как все шесть шашек выставлены, игра продолжается (шашки переставляются всегда на соседнее незанятое место) с той же целью, что и раньше.
На примере из рисунка белые ходят первыми, а черные только что поставили свою шашку на позицию 7. Теперь ход белых, и они, несомненно, пойдут с 8 на 9, а затем, что бы ни предприняли черные, они пойдут с 5 на 6 и выиграют партию. Это простая игра. Теперь предположим, что оба игрока владеют ею в совершенстве. Что произойдет тогда? Всегда ли выиграет первый игрок? Или всегда выиграет второй? Или всегда игра закончится вничью? Лишь одно из этих трех событий должно происходить всегда. Какое именно?
111. Волы фермера. Ребенок может предложить задачу, с которой не сумеет справиться мудрец. Некий фермер задал следующий вопрос.
– Мой луг в десять акров прокормит двенадцать волов в течение шестнадцати недель или восемнадцать волов в течение восьми недель. Сколько волов я смогу прокормить на поле в сорок акров в течение шести недель, если все это время трава будет равномерно подрастать?
Замечу, что у этой головоломки жало находится в хвосте. Равномерный рост травы – очень важная часть условия, хотя она сильно озадачит некоторых читателей. Трава, разумеется, предполагается равной длины и равномерной толщины в любом случае, когда скот начинает ее есть. При правильном подходе трудность не столь велика, как выглядит на первый взгляд.
112. Великая тайна Грэнгмура. Мистер Стэнтон Маубрей был очень богатым человеком. Известный миллионер жил в прекрасном старом особняке, нередко упоминаемом в английской истории, в Грэнгмур-Парке. Он был холост, много времени проводил дома и жил довольно тихо.
Согласно показаниям очевидцев, в день, предшествовавший той ночи, когда было совершено преступление, он получил со второй почтой одно письмо, содержание которого, по-видимому, его страшно поразило. В десять вечера он отпустил слуг, сказав, что должен просмотреть важные деловые бумаги и что просидит над ними допоздна. Никаких услуг ему не требовалось «Предполагалось, что после того, как все легли спать, он впустил кого-то в дом, поскольку один из слуг решительно утверждал, что слышал громкий разговор в очень поздний час.
На следующее утро, без четверти семь, один из слуг, войдя в комнату, нашел мистера Маубрея бездыханным – он лежал на полу с простреленной головой. Теперь мы подходим к одному странному обстоятельству этого дела. Пуля, пройдя сквозь голову убитого, попала в часы, которые стояли в кабинете. Она застряла прямо в середине циферблата, спаяв между собой три стрелки, ибо у часов была и секундная стрелка, которая обегала тот же циферблат, что и две другие. Но хотя три стрелки и соединились воедино, они могли поворачиваться как целое, и, к несчастью, слуги успели повернуть их несколько раз прежде, чем мистер Уайли Слаймэн прибыл на место. Но стрелки не могли двигаться порознь.
Опрос, проведенный полицией в окрестности, привел к аресту в Лондоне подозрительного человека, которого опознали несколько свидетелей, утверждавших, что видели его в тех краях днем накануне преступления. Однако с несомненностью было установлено, в какое именно время он роковым утром уехал на поезде. Если преступление было совершено после его отъезда, то невиновность арестованного была бы доказана, так что оказалось крайне важным установить точное время пистолетного выстрела, звука которого никто в доме не слышал. На рисунке точно показано, в каком именно положении были найдены стрелки часов. Мистера Слаймэна полиция просила напрячь все свои способности и привлечь весь свой опыт, но, как только ему показали часы, он улыбнулся и сказал:
– Все крайне просто. Обратите внимание, что все стрелки находятся на равных расстояниях друг от друга. Так, часовая стрелка ровно на двадцать минут отстоит от минутной, то есть на треть окружности циферблата. Вы большое значение придали тому факту, что слуги крутили спаянные стрелки, но их действия не играют роли: спаянные стрелки свободно сидели на оси и неминуемо должны были сами повернуться приходя в положение равновесия. Дайте мне чуть-чуть подумать, и я скажу вам точное время выстрела.
