Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оý / оx́ превращается в ý / x́, и об о больше не нужно думать.
Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx́)2, (оx́)3 и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx́ должно быть равно нолю[28]. С другой стороны, если оx́ — ноль, то деление на оx́, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оý / оx́. Деление на ноль запрещено математической логикой.
Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) — операция, которую мы теперь называем интегрированием, — всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x2 + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула — y = x2 + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b2 + b + 1) — (a2 + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x2 + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)
Рис. 27. Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x2 + x + 1
Математический анализ — это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.
Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле — всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r3 / t2 = k, где t — время, r — расстояние и k — константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: pυ = k, где p — давление, v — объем, k — константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f — сила, x — расстояние, на которое растянута пружина, и k — константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения — их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.
Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль — x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: υt = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gt2 / 2, где g — ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = at3 / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, — это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.
Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов — законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ — инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.
Дифференциальные уравнения отличаются от обычных, с которыми все мы знакомы. Обычное уравнение подобно машине: вы скармливаете машине числа, и она выбрасывает ответ. Дифференциальное уравнение тоже похоже на машину, но на этот раз вы вводите в машину уравнения, а получаете новые уравнения. Загрузите уравнение, описывающее условия проблемы (движется ли мяч с постоянной скоростью или на мяч действует сила), и в результате получите уравнение, в котором закодирован ответ, который вы ищете: двигается ли мяч по прямой или по параболе. Одно дифференциальное уравнение управляет всем неисчислимым количеством уравнений-законов. И в отличие от мелких уравнений-законов, которые то выполняются, то нет, дифференциальное уравнение верно всегда. Это универсальный закон, возможность заглянуть в механизм природы. Математический анализ Ньютона — его метод флюксий — сделал именно это: связал вместе такие концепции, как позиция, скорость, ускорение. Когда Ньютон обозначил положение функцией времени x, он понял, что скорость — это просто флюксия (современные математики называют ее производной от положения по времени: x́), а ускорение — всего лишь производная от скорости по времени: x˝ Переход от положения к скорости и к ускорению и обратно так же прост, как дифференцирование или интегрирование.
Имея в руках такой инструмент, Ньютон смог создать простое дифференциальное уравнение, описывающее движение всех тел во Вселенной: F = mx˝, где F — сила, действующая на тело, а m — его масса. (На самом деле это не вполне универсальный закон, поскольку уравнение верно, только когда масса объекта постоянна. Более общая версия закона Ньютона[29] выглядит так: F = ṕ, где p — количество движения, или импульс тела. Конечно, уравнения Ньютона были со временем усовершенствованы множеством ученых, в том числе Эйнштейном.)
Если у вас имеется уравнение, которое говорит вам о силе, приложенной к телу, дифференциальное уравнение точно сообщит вам, как тело движется. Например, мяч в свободном падении движется по параболе, в то время как пружина без трения вечно раскачивается туда и сюда, а под действием трения медленно останавливается (рис. 28). Какими бы разными ни казались эти исходы, все они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.
Рис. 28. Различные движения, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением
Точно так же, если вам известно, как движется тело — будь это мячик или гигантская планета, — дифференциальное уравнение скажет вам, какого рода сила к нему приложена. (Триумф Ньютона заключался в выведении уравнения, описывавшего силу притяжения и форму орбит планет. Раньше предполагалось, что сила была пропорциональна 1 / r2, и когда из дифференциальных уравнений Ньютона были получены эллиптические орбиты, люди стали верить в правоту Ньютона.) Несмотря на возможности анализа, ключевая проблема сохранялась. Работы Ньютона основывались на очень шатком фундаменте — делении ноля на самого себя. Труды его соперника имели тот же недостаток.
В 1673 году почтенный немецкий юрист и философ посетил Лондон. Его имя было Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они с Ньютоном едва не разорвали пополам научный мир, хотя ни один из них не мог разрешить проблему ноля, которой был пронизан математический анализ.
