Классические задачи для разминки
Улитка упала в колодец. Хорошо еще, что в нем не было воды, иначе она утонула бы. Но теперь перед ней стоит задача подняться наверх. Высота колодца 18 метров. При всем старании улитка может подняться за день только на 7 метров, а ночью опять сползает на 4 метра. На какой день она выберется из колодца?
Ответ (15)
В пруду растет одна кувшинка. Разрастаясь, она за день удваивает покрываемую площадь пруда. Через 30 дней весь пруд полностью покрыт кувшинками. Сколько дней понадобится, чтобы полностью покрыть весь пруд, если бы вначале была не одна кувшинка, а четыре?
Ответ (16)
Даже цветы могут символизировать числа. На лугу растет 35 цветов: красных, розовых и белых, – причем розовых в два раза больше, чем белых. Если сорвать четыре цветка, то по крайней мере один из них обязательно будет красным. Сколько цветов каждого цвета растет на лугу?
Ответ (17)
Два маляра красят дом. Оба работают с одинаковой скоростью. Вдвоем они покрасили бы этот дом за три дня, но после первого дня работы один из маляров заболел, и его коллега вынужден заканчивать работу в одиночку. Через сколько дней дом будет полностью покрашен?
Ответ (18)
У нас есть две литровые бутылки, одна из которых наполовину наполнена вином, а вторая – наполовину водой. Мы переливаем стакан вина (четверть литра) в бутылку с водой, хорошо перемешиваем и вновь переливаем стакан полученной смеси (также четверть литра) в бутылку с вином. В какой бутылке содержание вина будет больше?
Ответ (19)
Все это классические математические задачи, но умело обработанные и преподнесенные в занимательной форме, в отличие от тех примеров, которые вам приходилось решать в школе. Разница в том, что здесь, конечно, можно применять математические формулы (если вы вспомните подходящие), но больше требуются логика и воображение. Яркий пример отличия логики от математики демонстрирует следующая задача.
Два пешехода, расстояние между которыми составляет 12 километров, одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростью 4 километра в час. В момент начала движения птица, сидящая на плече первого пешехода, взлетает и мчится ко второму. Поравнявшись с ним, она разворачивается и снова летит к первому. Так продолжается до тех пор, пока пешеходы не встретятся. Скорость птицы – 30 километров в час. Сколько километров в общей сложности она пролетит до момента встречи?
Эта задача решается, как правило, с помощью геометрических рядов. Опытные математики находят ответ, не задумываясь, но им и в голову не приходит, что это можно сделать по-другому и намного проще. А вы додумались?
Ответ (20)
Элегантные упрощения свидетельствуют о творческом складе ума. Разумеется, это не значит, что все математики (включая учителей) полностью лишены этого качества. Один из самых известных математиков Карл Фридрих Гаусс, родившийся в Брауншвейге в 1777 году, на собственном опыте познал, что творческое мышление одновременно несет и радость, и муки. Когда ему было десять лет, учитель математики дал классу задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс справился за одну минуту, и ответ оказался верным. Но учителя это не обрадовало, так как он заподозрил ученика в обмане. Разве он мог подумать, что этот малолетний гений по ходу дела самостоятельно дошел до открытия бинома Ньютона. Он просто внимательно изучил задачу и заметил, что каждая последовательная пара чисел, взятых с начала и конца этого ряда, всегда дает в сумме 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 …) и таких пар насчитывается 50. В результате он просто умножил 50 на 101 и получил ответ: 5050.
Это поразительно красивое решение. А ведь красота, эстетика и ясность почти всегда являются признаками успешного решения задачи. Если доказательство изящно, оно должно быть верным. Точно так же химик, видя перед собой эстетичную модель молекулы, сразу приходит к выводу, что она «правильная». То же самое можно сказать и о физике, рассматривающем простую и изящную формулу. Если мысль красива, то и полученные в результате доказательства будут простыми и ясными, пути решения – элегантными, а выводы – убедительными. Даже если вы знаете, как обычно решается тот или иной тип задач или проблем, попробуйте сделать это иначе. Отвлекитесь от формул и диаграмм, доверьтесь интуиции, сознательно сделайте абсурдное допущение. Зачастую это ведет к решению. Вы уже знаете, что мозг – очень гибкий самоорганизующийся орган. Старайтесь руководствоваться этим в своих размышлениях. Большинство открытий и изобретений появились именно таким образом.
Эврика! Прикладные логические задачи
Найдя решение заковыристой задачи, можете смело кричать «Эврика!». Согласно легенде, именно так воскликнул Архимед, найдя в своей ванне ответ на мучивший его вопрос. Сиракузский царь Гиерон очень ценил самого знаменитого математика античности, поэтому поручил ему крайне щекотливое задание – узнать, из чистого ли золота сделана его новая царская корона. Архимед, естественно, не имел возможности расплавить корону. Кроме того, в то время еще не существовало химических методов анализа для определения содержания золота в сплаве. Задача оказалась трудной. Тут было над чем поломать голову. А теперь давайте прочертим линию между двумя, казалось бы, не связанными между собой вопросами, которая привела к искомому результату. Первый вопрос был уже поставлен: «Сделана ли корона из чистого золота?» Второй вопрос пришел Архимеду в голову, когда он улегся в наполненную доверху ванну и вода перелилась при этом через края. «Почему вылилось именно столько воды?» – заинтересовался он. Ответ на второй вопрос был ему понятен: тело, помещенное в жидкую или газообразную среду, вытесняет часть вещества, соответствующую его объему. Но это был одновременно и ответ на задачу, поставленную Гиероном. Архимед погрузил корону в наполненный до краев сосуд и посмотрел, сколько воды она вытеснила. Затем он поместил туда же золотой слиток, равный по весу короне. Корона вытеснила больше воды, чем слиток. Значит, она была сделана из более легкого металла. Следствием этого события стал знаменитый закон Архимеда, который определяет величину выталкивающей силы. Поскольку плотность золота выше, чем плотность воды, оно тонет и при этом вытесняет жидкость в количестве, равном его собственному объему. Более дешевый металл, правда, тоже тонет, но его плотность меньше, чем у золота, поэтому он вытесняет больший объем воды. Если же плотность предмета меньше, чем плотность воды, он плавает по поверхности.
Рис. 9. Архимед открывает выталкивающую силу. Гравюра на дереве из труда Витрувия «Десять книг об архитектуре», Венеция, 1511 год
Архимеду не были знакомы ледяные кубики для охлаждения вина, поэтому попробуйте дать за него ответ на следующий вопрос: в кружке, наполненной до краев водой, плавает кубик льда. Что будет, когда он растает?
Ответ (21)
Все мы постоянно проделываем эксперименты, но чаще всего даже не осознаем этого. Мы наблюдаем за окружающим миром, а когда он ставит перед нами очередную проблему, подсознательно начинаем обращать больше внимания на те наблюдения, которые так или иначе с ней связаны. Вот вам еще одна проблема. В банковском сейфе имеется 30 ячеек, в каждой из которых хранится по 30 золотых монет. Поступила информация, что в одной из ячеек монеты фальшивые. Настоящая золотая монета весит 10 граммов, а фальшивая – только 9 граммов. Директору банка необходимо узнать, в какой именно ячейке находятся фальшивые деньги, но у него очень мало времени, так как ревизия уже на пороге. У него есть электронные весы, позволяющие взвешивать с точностью до 1 грамма, но времени хватает только на одно взвешивание. Каким же образом можно определить, в какой ячейке фальшивые монеты?
Ответ (22)
Процедуры взвешивания и измерения постоянно встречаются в задачах, потому что чисто математические действия в этом случае легче трансформировать в форму занимательной истории. Итак, еще одна классическая задача. Перед вами лежат двенадцать металлических шариков, которые на вид не отличаются друг от друга, но один из шариков тяжелее остальных. У вас есть обычные рычажные весы, и вы можете произвести только три взвешивания. Как найти более тяжелый шарик? Ладно, с этой задачей вы, вероятно, справились быстро. А теперь немного усложним условие. Перед вами все те же двенадцать шариков, но один из них либо легче, либо тяжелее других. У вас по-прежнему только три попытки.
Ответ (23)
Хуже, когда на весы нельзя полностью положиться. Допустим, вы хотите отмерить 2 килограмма сахара. У вас есть рычажные весы, но с разной длиной плеч, килограммовая гиря, несколько бумажных пакетов и большой мешок сахара. Как вы поступите?
