(1) он начинается в начальном состоянии,
(2) он оканчивается в конечном состоянии, и
(3) метки дуг, образующих этот путь, соответствуют полной входной цепочке.
Решать, какой из возможных переходов делать в каждый момент времени — исключительно внутреннее дело автомата. В частности, автомат сам решает, делать ли спонтанный переход, если он возможен в текущем состоянии. Однако абстрактные недетерминированные машины такого типа обладают волшебным свойством: если существует выбор, они всегда избирают "правильный" переход, т.е. переход, ведущий к допущению входной цепочки при наличии такого перехода. Автомат на рис. 4.3, например, допускает цепочки аb и aabaab, но отвергает цепочки abb и abba. Легко видеть, что этот автомат допускает любые цепочки, оканчивающиеся на аb и отвергает все остальные.
Рис. 4.4. Допущение цепочки: (a) при чтении первого символа X; (b) при совершении спонтанного перехода.
Некоторый автомат можно описать на Прологе при помощи трех отношений:
(1) Унарного отношения конечное, которое определяет конечное состояние автомата.
(2) Трехаргументного отношения переход, которое определяет переход из состояния в состояние, при этом
переход( S1, X, S2)
означает переход из состояния S1 в S2, если считан входной символ X.
(3) Бинарного отношения
спонтанный( S1, S2)
означающего, что возможен спонтанный переход из S1 в S2.
Для автомата, изображенного на рис. 4.3, эти отношения будут такими:
конечное( S3).
переход( S1, а, S1).
переход( S1, а, S2).
переход( S1, b, S1).
переход( S2, b, S3).
переход( S3, b, S4).
спонтанный( S2, S4).
спонтанный( S3, S1).
Представим входные цепочки в виде списков Пролога. Цепочка ааb будет представлена как [а, а, b]. Модель автомата, получив его описание, будет обрабатывать заданную входную цепочку, и решать, допускать ее или нет. По определению, недетерминированный автомат допускает заданную цепочку, если (начав из начального состояния) после ее прочтения он способен оказаться в конечном состоянии. Модель программируется в виде бинарного отношения допускается, которое определяет принятие цепочки из данного состояния. Так
допускается( Состояние, Цепочка)
истинно, если автомат, начав из состояния Состояние как из начального, допускает цепочку Цепочка. Отношение допускается можно определить при помощи трех предложений. Они соответствуют следующим трем случаям:
(1) Пустая цепочка [] допускается из состояния S, если S — конечное состояние.
(2) Непустая цепочка допускается из состояния S, если после чтения первого ее символа автомат может перейти в состояние S1, и оставшаяся часть цепочки допускается из S1. Этот случай иллюстрируется на рис. 4.4(а).
(3) Цепочка допускается из состояния S, если автомат может сделать спонтанный переход из S в S1, а затем допустить (всю) входную цепочку из S1. Такой случай иллюстрируется на рис. 4.4(b).
Эти правила можно перевести на Пролог следующим образом:
допускается( S, []) :-
% Допуск пустой цепочки
конечное( S).
допускается( S, [X | Остальные]) :-
% Допуск чтением первого символа
переход( S, X, S1),
допускается( S1, Остальные).
допускается( S, Цепочка) :-
% Допуск выполнением спонтанного перехода
спонтанный( S, S1),
допускается( S1, Цепочка).
Спросить о том, допускается ли цепочка аааb, можно так:
?- допускается( S1, [a, a, a, b]).
yes (да)
Как мы уже видели, программы на Прологе часто оказываются способными решать более общие задачи, чем те, для которых они первоначально предназначались. В нашем случае мы можем спросить модель также о том, в каком состоянии должен находиться автомат в начале работы, чтобы он допустил цепочку аb:
?- допускается( S, [a, b]).
S = s1;
S = s3
Как ни странно, мы можем спросить также "Каковы все цепочки длины 3, допустимые из состояния s1?"
?- допускается( s1, [X1, Х2, X3]).
X1 = а
X2 = а
X3 = b;
X1 = b
X2 = а
X3 = b;
nо (нет)
Если мы предпочитаем, чтобы допустимые цепочки выдавались в виде списков, тогда наш вопрос следует сформулировать так:
?- Цепочка = [ _, _, _ ], допускается( s1, Цепочка).
Цепочка = [а, а, b];
Цепочка = [b, а, b];
nо (нет)
Можно проделать и еще некоторые эксперименты, например спросить: "Из какого состояния автомат допустит цепочку длиной 7?"
Эксперименты могут включать в себя переделки структуры автомата, вносящие изменения в отношения конечное, переход и спонтанный. В автомате, изображенном на рис. 4.3, отсутствуют циклические "спонтанные пути" (пути, состоящие только из спонтанных переходов). Если на рис. 4.3 добавить новый переход
спонтанный( s1, s3)
то получится "спонтанный цикл". Теперь наша модель может столкнуться с неприятностями. Например, вопрос
?- допускается( s1, [а]).
приведет к тому, что модель будет бесконечно переходить в состояние s1, все время надеясь отыскать какой-либо путь в конечное состояние.
Упражнения
4.4. Почему не могло возникнуть зацикливание модели исходного автомата на рис. 4.3, когда в его графе переходов не было "спонтанного цикла"?
4.5. Зацикливание при вычислении допускается можно предотвратить, например, таким способом: подсчитывать число переходов, сделанных к настоящему моменту. При этом модель должна будет искать пути только некоторой ограниченной длины. Модифицируйте так отношение допускается. Указание: добавьте третий аргумент — максимально допустимое число переходов:
допускается( Состояние, Цепочка, Макс_переходов)
4.4. Планирование поездки
В данном разделе мы создадим программу, которая дает советы по планированию воздушного путешествия. Эта программа будет довольно примитивным советчиком, тем не менее она сможет отвечать на некоторые полезные вопросы, такие как:
• По каким дням недели есть прямые рейсы из Лондона в Любляну?
• Как в четверг можно добраться из Любляны в Эдинбург?
• Мне нужно посетить Милан, Любляну и Цюрих; вылетать нужно из Лондона во вторник и вернуться обратно в Лондон в пятницу. В какой последовательности мне следует посещать эти города, чтобы ни разу на протяжении поездки не пришлось совершать более одного перелета в день.
Центральной частью программы будет база данных, содержащая информацию о рейсах. Эта информация будет представлена в виде трехаргументного отношения:
расписание( Пункт1, Пункт2, Список_рейсов)
где Список_рейсов — это список, состоящий из структурированных объектов вида:
Время_отправления / Время_прибытия / Номер_рейса
/ Список_дней_вылета
Список_дней_вылета — это либо список дней недели, либо атом "ежедневно". Одно из предложений, входящих в расписание могло бы быть, например, таким:
расписание( лондон, эдинбург,
[ 9:40 / 10:50 / bа4733/ ежедневно,
19:40 / 20:50 / bа4833 / [пн, вт, ср, чт, пт, сб]] ).
Время представлено в виде структурированных объектов, состоящих из двух компонент — часов и минут, объединенных оператором ":".
Главная задача состоит в отыскании точных маршрутов между двумя заданными городами в определенные дни недели. Ее решение мы будем программировать в виде четырехаргументного отношения:
маршрут( Пункт1, Пункт2, День, Маршрут)
Здесь Маршрут — это последовательность перелетов, удовлетворяющих следующим критериям:
(1) начальная точка маршрута находится в Пункт1;
(2) конечная точка — в Пункт2;
(3) все перелеты совершаются в один и тот же день недели — День;
(4) все перелеты, входящие в Маршрут, содержатся в определении отношения расписание;
(5) остается достаточно времени для пересадки с рейса на рейс.
Маршрут представляется в виде списка структурированных объектов вида
Откуда - Куда : Номер_рейса : Время_отправления
Мы еще будем пользоваться следующими вспомогательными предикатами:
(1) рейс( Пункт1, Пункт2, День, N_рейса, Вр_отпр, Вр_приб)
