числа!), равна как раз ему самому. Нечётных совершенных чисел не существует, предположил Евклид примерно две с половиной тысячи лет назад — и никто до сих пор не может этого предположения ни доказать, ни опровергнуть — это одна из самых старых нерешённых задач математики! Из более нетривиальных, но не менее поражающих своей красотой математических достижений человечества упомяну доказательство великой теоремы Ферма при n = 3, с выходом из области целых чисел в область чисел Эйзенштейна.
Красота мира — это красота математики!
Конечно, есть и другие виды красоты. Бывает девушка красивая, а бывает красивый вид с горы. Красота — это то, что вызывает в тебе чувство сопричастности Божественному. Чему-то вне тебя, приходящему к тебе извне. Красота трансцендентности, и не обязательно в математическом смысле слова (хотя концепция трансцендентных чисел тоже прекрасна!). Что-то, что тебе дано в ощущениях, но что ты не можешь постичь: как это могло появиться? Откуда это могло прийти?
Когда видишь такую красоту, трудно не реагировать эмоционально. Одно время мы матерились много, прямо в интернет фигачили видео без всякого запикивания. Но после одного случая мои начальники собрались и хором сказали, что они просят меня не использовать матерные слова в эфире. С тех пор я стараюсь обуздать свой язык.
В математических роликах я прекратил мат вообще, хотя часто приходится сдерживаться, когда, например, вижу какое-нибудь фантастически красивое доказательство. Сложно не крикнуть что-нибудь восторженное. Понятно, страсть и восторг выходят наружу не всегда в приличном виде.
Мифы математики
Если математика — наука точная, то откуда в ней исключения?
Правильный ответ такой: ниоткуда, их в ней нет. Дважды два четыре — везде и всегда, в любом месте, на Луне, на Марсе или где бы то ни было ещё. Почему же, в таком случае, люди полагают, что в математике есть исключения? Мне на ум приходят две причины.
Первая: в математике бывают рассуждения типа «Все простые числа — нечётные. Но есть одно исключение — число 2». Здесь «исключительность» связана не с какими бы то ни было правилами, а со спецификой постановки вопроса.
Ведь в утверждении «все простые числа — нечётные» подразумевается что? Что любое чётное число делится на 2, поэтому оно уже не может быть простым. Однако в этом рассуждении, естественно, содержится логический пробел: само-то число 2 делится на 2, но при этом оно простое (ни на какое число, кроме себя и единицы, число 2 не делится). Вот и создаётся ощущение, что исключение здесь есть, но на самом деле никакого исключения нет.
А вторая причина более тонкая. Если открыть сложные книги по математике, то они пестрят утверждениями типа «почти для всех x (икс) верно то-то». Создаётся впечатление, что в математике всё же есть исключения, раз присутствует слово «почти».
Но на самом деле подобные рассуждения относятся к теории меры и являются абсолютно строгими. Грубо говоря, с какой-то вероятностью, если я возьму наугад точку из отрезка [0,1], то получу число 1/е. С какой вероятностью? Если подумать, то станет ясно, что только с нулевой. Однако всё-таки это событие возможно. Вот такого рода исключения бывают в математике, и их изучают в теории меры. Но это уже сложный материал.
Говорят, что если скинуть с небоскрёба монетку, то она может убить человека.
Это не так. Дело в том, что монетка, с какой бы высоты она ни летела (достаточно большой, например начиная с 10 метров), уже входит в колебательный режим: когда она летит вниз ребром, она разгоняется. Но чуть она отклонится в полёте хоть на градус от вертикального положения — а понятно, что в какой-то момент случайное отклонение будет — как она тут же «встаёт плашмя» и очень сильно тормозится. Летя плашмя, она точно никого не убьет.
Потом монетка может снова повернуться и некоторое время вновь лететь вниз ребром. Потом снова плашмя. В такой непрерывной смене фаз она и будет лететь с небоскрёба. Поэтому, если бы высказанное утверждение было верным, то было бы верным и другое утверждение: что монетка, сброшенная с третьего этажа, убьёт человека.
Очевидно, это не так.
Человеку повезёт, если монетка упадёт на него плашмя, ибо тогда он вообще почти ничего не почувствует. И не очень повезёт, если она упадёт ребром, потому что тогда ему будет больно. Но смертельной травмы он в любом случае не получит.
Существует самое большое простое число.
Самого большого простого числа не существует. Доказательство достаточно простое. Предположим, что есть самое большое простое число. Тогда простых чисел всего должно быть конечное количество: начиная от числа 2 и заканчивая этим самым большим числом.
Возьмем все эти простые числа и перемножим. Если я перемножаю конечный набор чисел, то получается какое-то корректно определённое («конечное») число. Оно может быть безумным, гротескным, грандиозным по своему размеру — например, 10 в 10-й в 10-й степени и так далее, многоэтажные башни степеней, — но все-таки это будет конкретное число. Бьют фанфары, и мы прибавляем к этому гротескному числу единицу!
Возникает вопрос: а на какие числа может делиться это грандиозное число плюс один? Прежде всего заметим, что если оно делится хоть на какое-то число, то постепенно, выделяя все меньшие и меньшие делители, мы в конце концов дойдём до простого делителя нашего числа. Тем самым мы установили, что любое число либо само является простым, либо делится на какое-то из простых чисел, которое меньше него.
Но дело в том, что это число по построению не может делиться ни на одно из простых чисел, потому что предыдущее перед ним число делилось на них всех! Делимость же на фиксированное (простое или нет — даже не так важно!) число, бо́льшее единицы (а все простые числа больше единицы!), наступает через промежутки, равные этому числу.
Получается, что построенное нами число не может быть ни составным (ибо оно не делится ни на какое простое), ни простым (потому что простые мы уже все перебрали).
Таким образом, мы пришли к строгому математическому (логическому) противоречию, доказывающему, что самого большого простого числа существовать не может. Кстати, сейчас я воспроизвёл один в один доказательство самого Евклида!
Математика как предсказатель процессов в обществе
Соблазнительно думать, что методы современной математики могут моделировать сложные общественные процессы. Согласитесь, было бы здорово рассчитать, когда и где закончится СВО, кто победит на выборах в США или что будет с долларом и рублём. В общем, найти точный ответ на вопросы, по
