Ответ. Шоколадок больше в 4 раза.
4.12. Д.
4.13. Если на первой табличке написана правда, то и вторая табличка тоже правдива. Но обе таблички одновременно правдивыми быть не могут. Поэтому правда написана на второй табличке, а на первой – ложь. Значит, в первой комнате находится тигр, а во второй – принцесса.
Ответ. Вторую.
4.14. Кто сидит в первой комнате? Если тигр, то утверждение на первой табличке истинно. Если принцесса, то истинно утверждение на второй табличке. Таким образом, ситуация, когда обе таблички лгут, исключена. Значит, на обеих написана правда. Из второй таблички следует, что в первой комнате сидит принцесса. Поэтому первая часть высказывания на первой табличке неверна, и все высказывание в целом истинно, только если и в другой комнате сидит принцесса.
Ответ. В любую.
4.15. Утверждение «В обеих комнатах находятся принцессы» либо истинно, либо ложно. Если истинно, то в соответствии со словами короля в левой комнате должна находиться принцесса, а в правой – тигр. Но это противоречит истинности утверждения про двух принцесс. Следовательно, оно ложно, и в соответствии со словами короля в левой комнате находится тигр, а в правой – принцесса.
Ответ. В правую комнату.
4.16. Решение 1. Рассмотрим высказывания Никиты и Глеба. Если они оба ложные, то высказывание Антона тоже ложно, а правы только Игорь и Дима. Это противоречит маминому знанию о том, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Если из этих высказываний ложно ровно одно, то ложны и высказывания Игоря и Димы, что также противоречит маминому знанию. Значит, истинны оба первых высказывания (а также и высказывание Димы). По словам Никиты пирог испек Глеб или Игорь. Но по словам Глеба он не пек пирог. Значит, это сделал Игорь.
Решение 2. Составим таблицу, озаглавив ее строки и столбцы первыми буквами имен мальчиков. Будем по очереди предполагать про каждого, что пирог испек именно он, и заполнять его столбец. Если при таком предположении высказывание кого-то из братьев оказывается истинным, ставим в его строке плюс, а если ложным, то минус. По условию задачи в столбце того мальчика, который испек пирог, должно быть не менее трех плюсов.
Пусть пирог испек Никита. Тогда Никита солгал (ставим минус в левой верхней клетке), Глеб сказал правду (ставим плюс на клетку ниже), Игорь солгал (ставим минус на клетку ниже), Антон сказал правду (ставим плюс), а Дима солгал (ставим минус).
Заполнив первый столбец, видим, что в этом случае трое братьев сказали неправду, чего быть не может. Считая, что пирог испек Глеб, заполним второй столбец и т. д.
Теперь видно, что пирог испек Игорь.
Ответ. Игорь.
4.17. Решение. Если Маша говорит правду, то Наташа и Гриша умеют сидеть на стуле, поэтому Саша лжет. При этом лгут и Гриша с Наташей, а всего лгут трое.
Если Маша лжет, то Саша может как лгать, так и говорить правду. В первом случае Наташа говорит правду, а Гриша лжет, всего лгут трое. Во втором случае Наташа лжет, лжет и Гриша, и всего снова трое лжецов.
Ответ. Один.
Комментарий. В этой задаче нельзя определить ни кто именно сказал правду, ни кто из детей на самом деле умеет сидеть на стуле. Ясно только, что Гриша солгал.
4.18. Из условия следует, что первым ходил Петя, вторым Вася, а пятой Таня. И что до того, как Таня назвала 15 (вылетев из игры), ни она, ни Петя, ни Вася не ошибались. Предположим, что третий игрок назвал число 3 и вылетел из игры. Тогда 6 досталось Пете (и он сказал «Хоп!»), 9 – Тане (она тоже сказала «Хоп!»), 13 – тоже Тане, но тогда она не могла назвать еще и 15.
Значит, вместо числа 3 игрок сказал «Хоп!», и на первом круге (от 1 до 5) никто не вышел из игры. Поэтому на втором круге очередность ходов не изменилась, и Тане досталось число 10. Если бы четвертый игрок назвал число 9 и вылетел из игры, очередность на третьем круге нарушилась бы, и число 15 не досталось бы Тане. Так как Таня назвала 15, на втором круге (от 6 до 10) снова никто не вылетел. Если бы и от 11 до 14 никто не ошибся, то 20 должен был бы назвать вместо вышедшей из игры Тани Петя, начинавший игру. Но 20 сказал Вася. Кто мог ошибиться, назвав число между 11 и 14? Не Вася, который вместо 12 сказал «Хоп!», а третий игрок, назвавший 13.
Таня и третий игрок вышли. Петя и Вася назвали 16 и 17. Говорить «Хоп!» вместо 18 полагалось четвертому игроку. Если бы он так и сделал, к числу 23 подошла бы Васина очередь. Но это число досталось Пете. Почему? Потому что четвертый игрок назвал 18 и вылетел из игры. Остались Петя с Васей. Когда Петя назвал 23, Вася стал победителем. Он успел сказать «Хоп!» только один раз, вместо числа 12.
Ответ. 1 раз.
Занятие 5
5.7. 1) Верно. 2) Обратное высказывание «Если Боря – Женин брат, то Женя – Борин брат» неверно: Женя может быть Бориной сестрой.
5.8. С точки зрения логики правила можно рассматривать как высказывания «А ⇒ Б». Нарушение правила означает ложность этого высказывания. В данном правиле А означает «Житель планеты увидел старшего по рангу». В первых трех случаях А ложно, поэтому высказывание «А ⇒ Б» заведомо истинно. В четвертом случае истинны и А, и Б. А вот в пятом А истинно, а Б ложно.
Ответ. Нарушил правило только Пятый.
Комментарий. Точка зрения плюканского суда может не согласовываться с математической логикой. Но мы спрашивали про вашу точку зрения!
5.9. Первое утверждение верно. Но убедиться в этом не поможет ни один, ни сто примеров многоугольников, требуется общее доказательство. Оно несложно: количество клеточек равно удвоенному количеству доминошек, следовательно, оно четно. Второе утверждение неверно; чтобы это доказать, достаточно привести любой контрпример. Один из них изображен на рисунке справа.
Комментарий. Истинные высказывания в форме следствия доказать на примере нельзя, зато ложные опровергаются с помощью контрпримера. Это неудивительно: ведь следствия могут быть переформулированы как высказывания про всех.
5.10. С точки зрения формальной логики – да, правду. Ведь папоротник не цветет, поэтому утверждение «Человек сорвет цветок папоротника» заведомо ложно. Сложное же высказывание «Если А, то Б» при ложном А истинно независимо от истинности Б.
5.11. Заметим, что из каждого утверждения следует предыдущее (в порядке перечисления). Поэтому если утверждение «Число а делится на 24» верно, то верны и все остальные. Значит, только оно может оказаться единственным неверным из четырех. В качестве примеров подойдут числа, делящиеся на 12, но не делящиеся на 24: 12, 36, 60 и т. д.
5.12. Утверждение «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой – гласная буква» является ложным лишь в одном случае: если на одной стороне карточки четное число, а на другой – согласная буква. Поэтому надо перевернуть 2 карточки: с числом 4 (на обороте должна быть гласная буква) и с буквой Б (на обороте должно быть нечетное число).
Ответ: 2 карточки.
5.13. Решение 1. В (1) сказано, что если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя. Но в (3) сказано, что пасмурной погоды без дождя не будет. Значит, будет ветрено. По условию (2) в случае дождя ветра не было бы. Значит, дождя не будет. А по условию (3) и в случае пасмурной погоды не было бы ветра. Значит, будет солнечно.
Ответ. Будет солнечно, ветрено, но без дождя.
Комментарий. Разобравшись, в каком порядке использовать условие, удалось решить задачу коротко. Можно прийти к ответу и менее творчески, методом полного перебора.
Решение 2. Выпишем все 8 возможных (в этой задаче) типов погоды: СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СДД. В этой записи С означает солнце, В – ветер, а Д – дождь; если буква зачеркнута, то такого не будет. Например, СВД означает погоду пасмурную, безветренную и с дождем. Вычеркнем сочетания, противоречащие первому прогнозу: СВД, СВД, СВД. Остались СВД, СВД, СВД, СВД, СВД. Вычеркнем из них противоречащие второму прогнозу: СВД, СВД. Остались СВД, СВД, СВД. Наконец, вычеркнем СВД и СВД, противоречащие третьему прогнозу. Остался прогноз СВД: солнечно, ветрено, но без дождя.
5.14. Примеры Шляпы и Сони действительно показывают разницу между «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А». Чтобы в этом убедиться, можно каждую фразу построить более формально, например, «Если я что-то ем, то я это вижу» и т. п.
