Рис. 8.1. Идеальный одномерный ящик. Его стенки бесконечно высокие, бесконечно толстые, бесконечно массивные и совершенно непроницаемые. В ящике нет сопротивления воздуха. Внутри ящика потенциальная энергия Q равна нулю, а снаружи — бесконечности. Ящик имеет длину L
На рис. 8.2 изображён мяч для игры в ракетбол, отскакивающий от стенок идеальной одномерной классической (большой) ракетбольной площадки. Как уже было сказано, эти стенки идеальные, а внутри нет сопротивления воздуха. Кроме того, мяч тоже идеален, то есть обладает абсолютной упругостью. Когда мяч сталкивается со стенкой, он сжимается, как пружина, и снова распрямляется, что вызывает его отскок. Реальные мячи не идеально упругие. Когда мяч сжимается при ударе, не вся энергия, затраченная на его сжатие, идёт на отталкивание от стены. Часть энергии, затраченной на сжатие мяча, идёт на его нагрев. Однако здесь мы будем считать мяч идеально упругим. При ударе о стену вся кинетическая энергия мяча, которая обусловливает его сжатие, расходуется затем на отталкивание мяча от стены. Поэтому скорость мяча перед самым столкновением со стеной равна скорости его отскока после столкновения.
Рис. 8.2. Мяч на идеальной одномерной ракетбольной площадке. Сопротивление воздуха отсутствует, а мяч идеально упруг. Когда мяч ударяется об стену в точке L, он отскакивает, ударяется об стену в точке 0 и продолжает отскакивать взад и вперёд, поскольку площадка идеальна, мяч идеален и нет сопротивления воздуха. Начав так отскакивать, мяч будет бесконечно долго продолжать двигаться туда-обратно
На этой идеальной ракетбольной площадке мяч отскакивает от стен без какой-либо потери энергии; кроме того, нет ни сопротивления воздуха, ни гравитации. Поэтому мяч будет вечно двигаться туда-обратно, отражаясь от стен. Он ударится о стену в точке L, отскочит, столкнётся со стеной в точке 0, снова отскочит и будет продолжать своё движение взад и вперёд. Внутри ящика, поскольку потенциал равен нулю (см. рис. 8.1), никакие силы на мяч не действуют. Поэтому его энергия является чисто кинетической:
Ek=½m∙V2,
где m — масса мяча, а V — его скорость. Если мяч испытает слабые внешние воздействия, его скорость станет немного меньше и значение Ek тоже немного уменьшится. В этом идеальном ракетболе энергия может меняться непрерывным образом. Значение Ek может увеличиваться или уменьшаться произвольным образом в зависимости лишь от силы воздействия на мяч.
Другая важная особенность классического ракетбола — это возможность остановить мяч так, чтобы он неподвижно лежал на полу. В этой ситуации его скорость равна нулю: V=0. А раз V=0, то и Ek=0. При V=0 импульс тоже равен нулю, поскольку p=m∙V, так что импульс известен нам точно. Если мяч лежит на полу (V=0), то его положение известно. Если обозначить это положение x (см. рис. 8.2), то значение x будет находиться в интервале от 0 до L. Величина x не может принимать никакие другие значения, поскольку мяч находится на площадке (в ящике) и не может оказаться снаружи из-за идеальных стенок. Мяч можно поместить в определённое положение x на полу площадки, и тогда его положение будет известно точно. Это свойство макроскопической игровой площадки, даже идеальной. Это классическая система, и в ней можно точно и одновременно знать импульс p и положение x.
Площадка для игры в ракетбол имеет длину 12 м, диаметр мяча составляет 5,6 см, а его вес — около 0,04 кг. Очевидно, что игра в ракетбол описывается классической механикой. С помощью света можно следить за отскоками мяча туда-обратно, не влияя на них.
Частица в ящике — квантовый случай
Что изменится, если теперь мы перейдём к рассмотрению квантового ракетбола? Площадка остаётся идеальной, но теперь её длина не 12 м, а 1 нм (10−9 м). Кроме того, частица обладает массой электрона, равной 9,1∙10−31 кг, а не 0,04 кг. Таким образом, это задача о квантовой частице в ящике.
Сразу можно сказать, что наименьшая энергия квантовой частицы в ящике нанометрового размера не может быть нулевой. На классической ракетбольной площадке возможна скорость мяча V, равная нулю, а значит, нулевым может быть и импульс p=m∙V. Кроме того, положение мяча x имеет чётко определённое значение. Например, мяч может лежать неподвижно (V=0) точно посередине площадки, что соответствует x=L/2. В таком случае для нашего классического ракетбольного мяча ∆p=0 и ∆x=0. Значение произведения ∆x∙∆p=0 не соответствует принципу неопределённости Гейзенберга, что нормально, поскольку речь идёт о классической системе. Однако абсолютно малая частица в ящике нанометрового размера является квантовым объектом и должна подчиняться принципу неопределённости, утверждающему, что ∆x∙∆p≥h/4π. Если V=0 и x=L/2, то мы знаем одновременно x и p, а значит, ∆x∙∆p=0, как в классическом ракетболе. Для квантовой системы это невозможно. Таким образом, V не может быть равно нулю. Частица не может неподвижно пребывать в заданной точке. А если значение V ненулевое, то и значение Ek не может быть равно нулю. Принцип неопределённости говорит, что наименьшая энергия нашего квантового ракетбольного мяча не может быть нулевой. Квантовый мяч никогда не пребывает в неподвижности.
Значения энергии квантовой частицы в ящике
Какой энергией может обладать квантовая частица в ящике нанометровых размеров? На этот вопрос можно ответить без сложных расчётов, но сначала нам нужно вновь вернуться к волнам. В главе 6 мы говорили о волновых функциях свободных частиц. Волновая функция свободной частицы с определённым импульсом p — это волна, которая простирается по всему пространству. Таким образом, электрон с идеально определённым импульсом — это делокализованная волна, охватывающая всё пространство. Вероятность обнаружить свободный электрон всюду одинакова. Такой электрон обладает чётко определённой кинетической энергией Ek=½m∙V2, поскольку имеет чётко определённый импульс p=m∙V.
Электрон в нанометровой коробке подобен нашей свободной частице в том, что касается внутренней области коробки, где Q=0. Внутри коробки отсутствует потенциал, а значит, нет и действующих на частицу сил. В этом отношении она очень похожа на свободную частицу, на которую тоже не действуют никакие силы. Однако есть важное различие между частицей в коробке и свободной частицей — это стенки ящика. Электрон в ящике находится только внутри ящика. Идеальный характер ящика не позволяет его волновой функции распространиться на всё пространство. Частица находится внутри ящика и никогда не может оказаться снаружи. Волновая функция задаёт амплитуду вероятности обнаружить частицу в некоторой области пространства. Это борновская интерпретация волновой функции. Если наш электрон может быть обнаружен только внутри ящика и никогда снаружи, то вероятность его обнаружения в ящике должна быть конечной, а вовне — нулевой. Если вероятность найти частицу вне ящика равна нулю, то и волновая функция должна быть равна нулю во всех точках вне ящика.
Итак, мы пришли к выводу, что волновая функция частицы в ящике подобна волновой функции свободной частицы, но волновая функция должна быть равна нулю вне ящика. В своей интерпретации природы квантовомеханической волновой функции Борн наложил некоторые физические ограничения на форму, которую может принимать волновая функция. Одно из них состоит в том, что хорошая волновая функция должна быть непрерывной. Это условие означает, что волновая функция должна плавно меняться от места к месту. Бесконечно малое изменение положения не может приводить к неожиданному скачку вероятности. Это очень простая мысль. Если вероятность обнаружить частицу в некоторой очень малой области пространства составляет, например, 1 %, то смещение на невообразимо малую величину не может вдруг сделать вероятность обнаружения частицы равной 50 %. Это ясно по изображениям волновых пакетов на рис. 6.7. Вероятность плавно меняется от места к месту. Это позволяет нам кое-что добавить к описанию волновых функций частицы в ящике помимо того факта, что они являются волнами с конечными амплитудами внутри ящика и нулевой амплитудой вовне. Поскольку волновая функция должна быть непрерывной, непосредственно у стенки ящика с внутренней стороны она должна иметь нулевую амплитуду, чтобы совпадать с нулевой амплитудой волновой функции вне ящика.
