Как целостная система гносеологических воззрений Р. начал складываться в новое время в результате развития математики и естествознания. В противоположность средневековой схоластике и религиозному догматизму классический Р. 17—18 вв. (Р. Декарт, Б. Спиноза, Н. Мальбранш, Г. Лейбниц) исходил из идеи естественного порядка — бесконечной причинной цепи, пронизывающей весь мир. Т. о., принципы Р. разделяли как материалисты (Спиноза), так и идеалисты (Лейбниц): Р. у них приобретал различный характер в зависимости от того, как решался вопрос о происхождении знания.
Р. 17—18 вв., утверждавший определяющую роль разума не только в познании, но и в деятельности людей, явился одним из философских источников идеологии Просвещения. Культ разума характерен и для французских материалистов 18 в., стоявших на позициях материалистического сенсуализма и выступавших против спекулятивных построений Р.
Обосновывая безусловную достоверность научных принципов и положений математики и естествознания, Р. пытался решить вопрос: как знание, полученное в процессе познавательной деятельности человека, приобретает объективный, всеобщий и необходимый характер. В противоположность сенсуализму Р. утверждал, что научное знание, обладающее этими логическими свойствами, достижимо посредством разума, который выступает его источником и вместе с тем критерием истинности. Так, например, к основному тезису сенсуализма «нет ничего в разуме, чего прежде не было в ощущениях» (Локк) рационалист Лейбниц сделал добавление: «кроме самого разума», т. е. способности разума постигать не только частное, случайное (чем ограничивается чувственное восприятие), но и всеобщее, необходимое.
Обращение к разуму как единственному источнику научного знания привело Р. к идеалистическому заключению о существовании врождённых идей (Декарт) или предрасположений и задатков мышления, независимых от чувственности (Лейбниц). Принижение Р. роли чувственного восприятия, в форме которого реализуется связь человека с внешним миром, влекло за собой отрыв мышления от объекта познания.
И. Кант, пытавшийся примирить идеи Р. и сенсуализма, полагал, что «всякое наше знание начинает с чувств, переходит затем к рассудку и заканчивается в разуме...» (Соч., т. 3, М., 1964, с. 340). Разум, по Канту, не может служить универсальным критерием истины. Чтобы объяснить свойства знания, он вводит представление об априорности (см. Априори) не только понятийных форм (как это было в классическом Р.), но и форм созерцания — пространства и времени. Но кантовский Р. сохраняет свою силу лишь ценой принятия позиции агностицизма, он распространяется только на мир явлений, но не на «вещь в себе», объективную реальность.
В философии Г. Гегеля началом и сущностью мира была объявлена абсолютная идея, или абсолютный разум, а процесс познания был превращен в самопознание разума, который постигает в мире своё собственное содержание. Поэтому развитие объективного мира предстаёт у Гегеля как чисто логический, рациональный процесс, а его Р. приобретает характер панлогизма.
В буржуазной философии 19 и 20 вв. вера в неограниченную силу человеческого разума была утрачена (позитивизм, неопозитивизм и др.); преобладающей становится критика классического Р. с его идеалами могущества разума и ничем не ограниченной рациональной деятельности человека. Эта критика ведётся как с позиций иррационализма (например, во фрейдизме, который отстаивает ведущую роль нерациональных, подсознательных компонентов, в интуитивизме и экзистенциализме), так и в духе умеренного, ограниченного Р., связанного уже не столько с логической проблематикой познания, сколько с поиском социально-культурных оснований и границ Р. (например, в концепциях М. Вебера, К. Манхейма).
Ограниченность и односторонность Р. были преодолены марксизмом. Разрешение противоречия между эмпиризмом и Р. стало возможным на принципиально новых основах, разрабатываемых в теории познания диалектического материализма. Основным условием решения этой проблемы явился анализ процесса познания в органической связи с практической деятельностью по преобразованию действительности. «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Ленин В. И., Полное собрание соч., 5 изд., т. 29, с. 152—53).
Лит.: Маркс К., Тезисы о Фейербахе, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т, 3; Энгельс Ф., Диалектика природы, там же, т. 20; Ленин В. И., Философские тетради, Полное собрание соч., 5 изд., т. 29; Декарт Р., Рассуждение о методе. Избр. философские произведения, М., 1950; Лейбниц Г., Новые опыты о человеческом разуме, М., 1936; История философии, т. 1, М., 1957, гл. 5; Girgensohn К., Der Rationalismus des Abendlandes, Greifswald, 1921; Cassirer Е., Die Philosophic, der Aufklärung, Tübingen, 1932; Santillana G. de, Zilsel Е., The development of rationalism and empiricism, Chi., 1941.
Б. С. Грязнов.
Рациональная функция
Рациона'льная фу'нкция, функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:
, (1)
где a0, a1, ..., an и b0, b1, ..., bm (a0 ¹ 0, b0(0)— постоянные, a n и m — неотрицательные целые числа. Р. ф. определена и непрерывна для всех значений х, кроме тех, которые являются корнями знаменателя Q (x). Если x — корень кратности k знаменателя Q (x) и одновременно корень кратности r (r ³ k) числителя Р (х), то R (x) имеет в точке x устранимый разрыв; если же r < k, то R (x) имеет в точке x бесконечный разрыв (полюс). Многочлен является частным случаем Р. ф. (при m = 0), поэтому многочлены иногда называются целыми Р. ф.; всякая Р. ф. есть отношение двух многочленов. Др. примером Р. ф. может служить дробно-линейная функция.
Если в формуле (1) n < m (m > 0), то Р. ф. называется правильной; если же n ³ m, то R (x) может быть представлена в виде суммы многочлена M (x) степени n — m и правильной Р. ф. R1(x) = :
R (x) = М (х) + R1(x),
многочлены М (х) и P1(x) (степень последнего меньше m) однозначно определяются из соотношения
Р (х) = M (x) Q (x) + P1(x)
(формула деления многочлена с остатком).
Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметических операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в которых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная
также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R1(x) на простейшие дроби:
где x1, ..., xs — различные корни многочлена Q (x) соответственно кратностей k1, ..., ks (k1 + ... + ks = m), a — постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P1(x) и Q (x) — действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q (x) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:
где трёхчлен x2 + px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4q > p2).
