Рис 3.8. Зависимость скрытой ПС в битах на отсчет гауссовского контейнера при и ,
оптимальное скрывающее преобразование,
при выборе ,
при выборе .
На рис. 3.8 также показана зависимость скрытой ПС для выбора при встраивании скрываемого сообщения. Видно, что такой принцип построения стегосистемы даже при по сравнению с другими вариантами построения обеспечивает существенно меньшую величину скрытой ПС. Когда величина искажения приближается к величине энергии контейнера, значения скрытой ПС при оптимальном скрывающем преобразовании и при выборе становятся сопоставимыми. Однако столь большие величины искажения не характерны для стегосистем. При использовании в качестве контейнеров звуковые (речевые) сигналы или изображения допустимая степень искажения таких контейнеров практически ограничивается. Например, если заверять речевые или музыкальные файлы водяными знаками, то для сохранения минимально приемлемого их качества требуется обеспечить отношение мощности заверяемого сигнала к мощности помехи не хуже 10–20 дБ. Для заверяемых изображений отношение сигнал/помеха должно быть не хуже 30 дБ. Если к стегосистеме предъявляются требования необнаруживаемости факта существования стегоканала, то требуемое отношение сигнал/помеха должно быть существенно выше. Следовательно, для наиболее употребительных в стеганографии контейнеров требуется обеспечить отношение . Заметим, что аналогичным образом на практике приходится уменьшать и отношение . Таким образом, для стегосистем практически интересен случай, когда величины искажения и существенно меньше энергии контейнера.
Особый интерес вызывает вопрос, как соотносятся между собой величины скрытой ПС стегоканала передачи скрываемых сообщений и обычной пропускной способности открытого канала передачи. Пусть по открытому каналу передается сигнал с нормальным распределением. На передаваемый сигнал воздействует гауссовский шум с мощностью . Из теории связи известно, что максимальная скорость передачи по открытому каналу равна
Пусть в стегосистеме в качестве контейнера используется рассмотренный сигнал с нормальным распределением. В него встраивается скрываемое сообщение, при этом в контейнер вносится искажение кодирования величиной . На стего накладывается такой же шум с мощностью , как и в открытом канале. Таким образом, для стегосистемы рассматривается случай гауссовского скрывающего преобразования и гауссовского атакующего воздействия. Таким образом, стегосистема и система открытой передачи поставлены в одинаковые условия (за исключением искажения кодирования, отсутствующего для системы открытой передачи). Для стегосистемы рассматривается случай гауссовского скрывающего преобразования и гауссовского атакующего воздействия.
На рис. 3.9 показаны зависимости величин ПС открытого канала передачи гауссовского сигнала и скрытой ПС стегоканала при оптимальном скрывающем преобразовании этого же гауссовского контейнера с дисперсией = 10. Пропускная способность выражена в битах на отсчет гауссовского сигнала (контейнера). Для стегосистемы рассмотрен случай фиксированной величины искажении кодирования (сплошная линия) и случай (штрих-пунктирная линия). Из рис. 3.9 видно, что ПС открытого канала передачи существенно превышает скрытую ПС стегоканала, причем при уменьшении искажения кодирования величина скрытой ПС составляет все меньшую часть величины ПС открытого канала. Следовательно, для случая малых искажений и , составляющего наиболее практически важный случай применения стегосистем, за скрытность передачи информации приходится платить уменьшением скорости защищенной передачи по сравнению со скоростью открытой передачи в десятки раз. Можно сделать вывод, что при образовании стегоканала внутри открытого канала передачи основной ресурс этого открытого канала расходуется не на передачу скрываемого сообщения, а на передачу контейнера, выступающего в роли сигнала прикрытия скрываемого сообщения.
Рис. 3.9. Зависимость ПС открытого канала передачи гауссовского сигнала от искажения (пунктирная линия) и скрытой ПС стегоканала с оптимальным скрывающим преобразованием гауссовского контейнера при и (сплошная линия), при и (штрих-пунктирная линия)
Используя среднеквадратическую метрику покажем, что величина скрытой ПС независима от статистики контейнера при асимптотическом уменьшении величин искажений и . Это дополняет полученные в главе 3.6.2 результаты для гауссовского распределения, которые справедливы для всех уровней искажения. Скрытая ПС существенно зависит от геометрии областей малых искажений, увеличиваясь при таких малых областях, в которых распределение равномерно.
Теорема 3.8: Пусть в стегосистеме с непрерывным алфавитом используется среднеквадратическая мера искажений вида . В стегосистеме распределение контейнеров имеет нулевое среднее значение и дисперсию , оно ограничено и непрерывно. Тогда при величина стремится к значению скрытой ПС при гауссовском контейнере, равной . Построение стегосистемы, при котором асимптотически достигается максимальное значение скрытой ПС, совпадает с гауссовским случаем: , , где , последовательность имеет нулевое математическое ожидание, дисперсию и является независимой от контейнера, а распределение описывает гауссовское атакующее воздействие вида (4.3) при .
Рассматриваемые результаты имеют очень важное практическое значение. Они определяют, что при использовании таких контейнеров как видео или речевые, характеристики которых не распределены по нормальному закону, при малых величинах и величина скрытой ПС практически не уменьшается по сравнению со случаем гауссовских контейнеров. Для этого встраиваемая информация должна внедряться в такие малые участки контейнера, для которых распределение приближается к равномерному.
3.9. Атакующее воздействие со знанием сообщения
В рассмотренных ранее стегосистемах предполагалось, что нарушитель не знает правила преобразования скрываемого сообщения M в последовательность которая встраивается в контейнер. Следовательно, даже если нарушитель знает вероятностные характеристики множества скрываемых сообщений, то ему неизвестны характеристики множества . Теперь рассмотрим случай, когда нарушитель знает распределение последовательностей и пытается использовать это знание для разрушения сообщения M. Назовем такие действия нарушителя атакующим воздействием со знанием преобразованного в последовательность скрываемого сообщения. Как это ни удивительно, обладание этой информацией автоматически не означает, что нарушитель всегда способен удалить скрываемое сообщение из стего X.
Ясно, что в такой стегосистеме скрытая ПС ограничена сверху значением скрытой пропускной способности, вычисленной согласно теоремы 3.3, так как атакующий использует больше информации, чем оговорено в этой теореме. Но может ли скрытая ПС при данной атаке нарушителя быть строго больше нуля? Рассмотрим подробнее эту задачу. Опишем атакующее воздействие условной функцией распределения и пусть есть множество таких воздействий, удовлетворяющих неравенству
. (3.25)
Приведем теорему, похожую на теорему 3.3, но отличающуюся тем, что нарушитель дополнительно знает использованные скрывающим информацию кодовые слова , а также тем, что рассматриваемое в ней множество больше.
Теорема 3.9: Пусть атакующий знает описание стегосистемы и распределение используемых кодовых слов а декодер знает описание атакующего воздействия. Для любой атаки, приводящей к искажению , скорость достижима, если и только если , где
