Внутри прямоугольника находятся четыре вертикальные линии, на которых указываются значения, соответствующие каждой степени двойки (см. рисунок ниже). Так как число часов находится в интервале от 0 до 12, для представления часов достаточно четырех цифр (см. таблицу на предыдущей странице). Для обозначения минут, число которых находится на интервале от 0 до 60, требуется шесть цифр.
Взглянув на эти часы, сразу узнать время нельзя — сначала нужно сложить значения, отмеченные на каждой линии. Часы на рисунке выше показывают 7 часов и 48 минут. Четверть часа, полчаса и три четверти часа обозначаются так:
Сначала эти часы кажутся неудобными, но постепенно по ним можно научиться определять время так же быстро, как и по обычным. Эти часы — удивительный пример того, как математика стала основой дизайна вещи.
Лента Мёбиуса
Если соединить противоположные стороны прямоугольной ленты ABCD, то есть совместить пары вершин АС и BD, получится кольцо. На следующем рисунке стрелкой показано, как именно совмещаются вершины исходного прямоугольника:
А чтобы построить ленту Мёбиуса, необходимо соединить вершину А с вершиной D, В — с С:
В результате получается кольцо, у которого всего одна граница и одна сторона.
Эта необычная геометрическая фигура используется в дизайне ювелирных украшений, в частности колец. Реклама этих колец сопровождается текстами, которые подчеркивают их особенности.
— Особые топологические свойства: «Это чудесное серебряное кольцо имеет уникальную форму: у него всего одна сторона. Его форма символизирует равновесие между внутренним и внешним я.
— Свойства, которые можно считать следствием особой формы кольца: «Как маленькая золотая лента может заставить вас почувствовать, что весь мир вращается у вас вокруг пальца? Оно совершенно…»
Обычные кольца имеют цилиндрическую форму и две стороны — внешнюю и внутреннюю. С пальцем соприкасается только внутренняя сторона. Если внутренняя сторона соприкасается с пальцем, то внешняя — со всем остальным, то есть с целым миром. Кольцо Мёбиуса имеет всего одну сторону. Следовательно, та сторона кольца, которая соприкасается с пальцем, соприкасается и со всем остальным миром. Нет различий между «внутри» и «вне», поэтому действительно можно сказать, что с кольцом Мёбиуса весь мир будет вращаться вокруг вашего пальца. В этом случае речь идет не просто о математическом объекте, взятом за основу дизайна, — также были созданы корректные и непротиворечивые трактовки, помогающие понять его математические свойства.
* * *
ГЕКСАМИНО И ДИЗАЙН
На рисунке ниже изображена развертка картонной коробки, в которую укладываются шапочки для душа в гостиницах. Эта развертка называется гексамино, так как состоит из шести одинаковых фигур, или модулей, соединенных сторонами.
Посредством последовательных сгибов из этой развертки получается трехмерный многогранник — гексаэдр, то есть куб. Существует одиннадцать различных гексамино, из которых можно сложить куб.
* * *
Дух геометрии
В дизайне парфюмерных флаконов иногда используются настоящие геометрические головоломки с алгебраическими формулами. Так произошло с мужским одеколоном и дезодорантом известной японской марки. Дизайнер создал два флакона разной формы, которые, сложенные вместе, образовывали квадрат. Один из флаконов имел форму квадрата, другой представлял собой симметричную фигуру:
Вместимость большого флакона равнялась 75 мл, малого — 50 мл. В рекламе основной упор делался на суммарном объеме флаконов и их особой форме:
Сможете ли вы определить реальные размеры флаконов? Объем меньшего равен 50 мл, большего — 75 мл. Суммарный объем флаконов равен 125 мл. Так как флаконы идеально укладываются друг в друга, их толщина одинакова, следовательно их объемы пропорциональны площадям видимых поверхностей. Учитывая, что 1 мл воды эквивалентен 1 см3, можно вполне обоснованно считать, что сторона х малого флакона и сторона z большого флакона соответственно равны:
50 = x2 => х = √50 = 7,1 см;
125 = z2 => z = √125 ~= 11,2 см.
Почему пазлы из 2000 элементов не содержат ровно 2000 элементов
Не всегда можно создать предметы точно такой формы или из точно такого числа элементов, как этого хочется их автору. Многие из вас наверняка собирали головоломки-пазлы, но немногие подсчитывали точное число их элементов. Некоторые могут возразить, что подобный подсчет не нужен, так как число элементов всегда указано на коробке: 500, 1000, 2000, 3000, 5000, 8000. Однако изготовители головоломок обманывают нас или, по меньшей мере, не говорят всей правды.
Пазлы из 500 элементов действительно содержат 500 элементов, но пазлы из 2000 элементов не содержат 2000 элементов, и чтобы убедиться в этом, не требуется подсчитывать их все. Все пазлы образуют форму прямоугольника, их элементы имеют различную форму, однако вырезаются из прямоугольного основания, в котором проделываются выступы и выемки. При изготовлении пазла из 2000 элементов нужно найти два целых числа, обозначающих число элементов на каждой стороне прямоугольника, произведение которых будет равно 2000. Так как 2000 = 24· 53, возможны следующие варианты:
1·2000 = 2·1000 = 4·500 = 8·250 = 10·200 = 16·125 = 20·100 = 25·80 = 40·50.
Соотношение ширины и высоты собранного пазла должно быть гармоничным и приближаться к соотношению сторон листа стандартного формата А4, то есть примерно равно 1,4. Однако прямоугольники, длины сторон которых являются делителями числа 2000, будут либо слишком вытянутыми, либо слишком «квадратными»:
50/40 = 1,25
80/25 = 3,2
Поэтому вместо 2000 используется 1998 элементов: разложив 1998 на простые множители, мы увидим, что два его делителя описывают прямоугольник, соотношение сторон которого очень близко к желаемому:
1998 = 2·33·37 => (2·33/37) = 54/37 ~= 1,46
Это интересный пример того, как разложение натурального числа на простые множители определяет дизайн предмета.
Снятие макияжа и теорема Пифагора
Макияж обычно снимают с лица специальными небольшими салфетками. Каждый производитель изготавливает салфетки особой формы, порой весьма далекой от привычных квадратов, прямоугольников или кругов.
На следующем рисунке изображен дизайн губки для снятия макияжа. На иллюстрации представлен вид сверху, но не следует забывать, что губка является трехмерной и имеет толщину, равную примерно двум сантиметрам. Она состоит из четырех частей, которые складываются подобно элементам головоломки:
Именно эта головоломка используется в одном из самых понятных доказательств теоремы Пифагора. Пусть а — сторона квадрата (гипотенуза каждой из маленьких салфеток), b и с — стороны салфеток, перпендикулярные друг другу (катеты).
В этом случае площадь большого квадрата выражается так:
a2 = 4·(b·c/2) + (b — c)2
a2 = 2bx + b2 — 2bc + c2
a2 = b2 + c2
Темы с вариациями
Композиторы знают, что один и тот же мотив, повторяясь, задает основную тему произведения, однако если тема повторяется без изменений, мелодия может оказаться монотонной и скучной. Красота хорошей музыкальной композиции проявляется не столько в самом мотиве, сколько в том, насколько разнообразны его вариации.
Дизайнеры верны этой идее, повторяя бесконечное множество раз логотип в дизайне товаров и упаковок. В подобных случаях чаще всего используется симметрия, которая не изменяет форму фигуры, а варьирует лишь ее местоположение.
Существует три преобразования на плоскости, которые сохраняют неизменными форму и размер: перенос, поворот и осевая симметрия (отражение).
Перенос изменяет местоположение, при повороте фигура вращается относительно неподвижной точки, называемой центром вращения, отражение, или осевая симметрия, заменяет исходную фигуру ее зеркальным отражением. С помощью этих трех преобразований один и тот же мотив может повторяться множеством способов, и всего существует семнадцать узоров, принципиально различных с математической точки зрения. В дизайне не требуется столько разных узоров — например, для логотипа в форме буквы Z используются только узоры, изображенные на рисунке ниже. Можно заметить, как повторяющаяся буква теряет исходный смысл и превращается в условный символ, служащий основой орнамента.
