новые отсчеты данных, заменяя самые старые, и каждый раз производится вычисление выходного значения фильтра. Для реализации циклического буфера может использоваться фиксированный объем оперативной памяти, как показано на рис. 6.13 для КИХ-фильтра с 4 звеньями. Самый старый отсчет данных заменяется новым после каждой операции вычисления свертки. Выборка из четырех последних отсчетов данных всегда сохраняется в оперативной памяти.
Чтобы упростить адресацию, чтение из памяти старых значений начинается с адреса, который следует непосредственно за адресом только что записанного нового элемента выборки. Например, если значение х(4) только что записано в ячейку памяти 0, то значения данных читаются из ячеек 1, 2, 3 и 0. Этот пример может быть расширен применительно к любому числу звеньев фильтра. Используя адресацию ячеек памяти таким способом, адресный генератор должен лишь вычислять последовательные адреса, независимо от того, является ли данная операция чтением памяти или записью. Такой буфер в памяти данных называется циклическим, потому что, когда достигается его последняя ячейка, указатель автоматически позиционируется на начало буфера.
Выборка коэффициентов из памяти осуществляется одновременно с выборкой данных. В соответствии с описанной схемой адресации, самый старый отсчет данных выбирается первым. Поэтому сначала должна осуществляться выборка из памяти последнего коэффициента. При использовании адресного генератора, поддерживающего инкрементную адресацию, коэффициенты могут быть сохранены в памяти в обратном порядке: h(N-1) помещается в первую ячейку, a h(0) — в последнюю. И наоборот, коэффициенты могут быть сохранены в порядке возрастания их номеров, если использовать адресный генератор, поддерживающий декрементную адресацию. В примере, показанном на рис. 6.13, коэффициенты сохранены в обратном порядке.
Простая итоговая блок-схема для этих операций представлена на рис. 6.14.
Для DSP-процессоров компании Analog Devices все операции, выполняемые за один цикл фильтра, производятся за один командный цикл процессора, благодаря чему существенно увеличивается эффективность вычислений. Данное преимущество известно как реализация циклов без дополнительных операций. Ассемблерный код КИХ-фильтра для семейства процессоров ЦОС ADSP-21XX с фиксированной точкой представлен на рис. 6.15. Стрелками в тексте помечены исполняемые команды, остальная часть кода — просто комментарии, добавленные для пояснения.
Первая команда (помеченная меткой fir:) инициирует вычисления, очищая регистр MR и заполняя регистры МХ0 и MY0 первым значением данных и первым значением коэффициентов из памяти программ и памяти данных. Затем, для вычисления суммы первых N-1 слагаемых, N-1 раз в N циклах выполняется операция умножения с накоплением, реализуя свертку выборки следующего набора данных и коэффициентов. Заключительная команда умножения с накоплением выполняется с включенным режимом округления для округления результата до старших 24 разрядов регистра MR. Затем регистр MR1 условно насыщается до своего наибольшего положительного или отрицательного значения, в зависимости от состояния флага переполнения в регистре MV. Благодаря такому подходу, при накоплении результата используются преимущества регистра MR 40-разрядной точности. Насыщение происходит только в том случае, если вычисление заключительного результата привело к переполнению 32 младших значащих разрядов регистра MR.
Ограничение на число звеньев фильтра, реализующего подпрограммы КИХ-фильтрации в реальном масштабе времени, определяется, прежде всего, длительностью процессорного цикла, частотой дискретизации и требуемым объемом других вычислений. Подпрограмма КИХ-фильтра, представленная в примере, требует общего количества циклов N+5 для фильтра с числом звеньев N. Для DSP-процессора ADSP-2189M, обладающего быстродействием 75 MIPS, один цикл команды выполняется за 13,3 не, так что фильтр с числом звеньев 100 требует 13,3 нс*100 + 5*13,3 нс = 1330 нс + 66,5 нс = 1396,5 нс = 1,4 мкс.
Проектирование КИХ-фильтров
Благодаря современным средствам САПР, проектирование КИХ-фильтров выполняется относительно просто. На рис. 6.16 представлены некоторые характеристики КИХ-фильтров и наиболее популярные методы их проектирования.
ХАРАКТЕРИСТИКИ КИХ-ФИЛЬТРОВ
• Импульсная характеристика имеет конечную длительность (N циклов)
• Линейная фаза, постоянная групповая задержка (N должно быть нечетным)
• Нет аналогового эквивалента
• Безусловная устойчивость
• Может быть адаптивным
• Вычислительные преимущества при децимации на выходе
• Легкое понимание принципов и проектирование
♦ Оконный метод sin(x)/x (Windowed-Sinc)
♦ Разложение в ряд Фурье со взвешиванием (Windowing)
♦ Синтез произвольной частотной характеристики и использование обратного БПФ
♦ Программа Паркса-Макклиллана (Parks-McClellan) с алгоритмом обмена Ремеза (Remez)
Рис. 6.16
Проектирование КИХ-фильтров базируется, в первую очередь, на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой, а во-вторых, на том, что коэффициенты фильтра определяются его квантованной импульсной характеристикой. Оба положения иллюстрирует рис. 6.17.
На вход КИХ-фильтра подается одиночный импульс, и по мере прохождения этого импульса через элементы задержки, на выходе поочередно формируются коэффициенты фильтра. Таким образом, процесс проектирования КИХ-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе генерации коэффициентов фильтра.
Полезно сделать некоторое отступление и исследовать соотношения между временным и частотным представлениями для лучшего понимания принципов, лежащих в основе цифровых фильтров, в частности — КИХ-фильтров. В дискретной системе операция свертки может быть представлена рядом операций умножения с накоплением. Операция свертки во временной или частотной области эквивалентна умножению "точки на точку" в соответствующей дуальной области. Например, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Это изображено графически на рис. 6.18. Очевидно, что фильтрация в частотной области может быть выполнена умножением на 1 всех частотных компонентов в полосе пропускания и умножением на 0 всех частотных компонентов в полосе задержки. И наоборот, свертка в частотной области эквивалентна умножению "точки на точку" во временной области.
Функция передачи в частотной области (1 или 0) может быть отображена во временную область с использованием дискретного преобразованием Фурье (ДПФ) (на практике используется БПФ). Во временной области это дает импульсную характеристику фильтра. Так как умножение в частотной области (спектр сигнала умножается на функцию передачи фильтра) эквивалентно свертке во временной области (сигнал свернут с импульсной характеристикой), то сигнал может быть отфильтрован путем вычисления его свертки с импульсной характеристикой фильтра. Задача фильтрации с использованием КИХ-фильтра является в точности таким процессом. Так как мы имеем дело с дискретной системой, сигнал и импульсная характеристика квантуются по времени и амплитуде, давая в результате набор дискретных отсчетов. Дискретные отсчеты, включающие желаемую импульсную характеристику, являются коэффициентами КИХ-фильтра.
Математический аппарат, применяемый при проектировании фильтров (аналоговых или цифровых), в основном базируется на преобразованиях Фурье. В непрерывных по времени системах в качестве обобщенного преобразования Фурье может рассматриваться преобразование Лапласа. Подобным способом можно обобщить преобразование Фурье для дискретных по времени
