Но полная симметрия скучна и однообразна. Она настолько упорядочена, что не дает возможности развития: любое нарушение симметрии в такой совершенной структуре вызывает диссонанс. Чрезмерная стабильность вырождается в статичность, и любой сдвиг приводит к деформации. А ведь мы живем в изменяющемся мире, и если приглядеться, то окажется, что даже симметричные природные формы имеют асимметричные детали. Левая половина тела подобна правой, но не идентична ей, лепестки цветка похожи, но не одинаковы, шедевры архитектуры соединяют в себе стабильность и динамичность.
По наблюдениям психологов, раздражительные, нервные люди, часто испытывающие стрессы, чувствуют себя комфортнее в симметричном окружении. Иногда недостаток душевного покоя, упорядоченности на психологическом уровне компенсируется маниакальной страстью к порядку вещей. Также повышенную тягу к симметрии испытывают маленькие дети и пожилые люди. Подростки в симметричных помещениях чувствуют себя спокойно, но часто экспериментируют с асимметричными деталями в одежде, прическе и т. д. Внезапное небольшое нарушение привычной симметрии у уверенных в себе людей (независимо от возраста) вызывает интерес, у неуверенных – неприятие, иногда страх.
Таким образом, симметрия и асимметрия в природе, жизни и в архитектуре являются элементами, вместе создающими гармонию архитектурных форм. Но сколько асимметричных деталей должна нести в себе симметричная структура, чтобы, оставаясь стабильной, выглядеть динамичной, нескучной, красивой? И по каким законам строится та асимметричная часть мироздания, которая ассоциируется у нас с движением, развитием, свободой? По определению одного из представителей пифагорейской школы Филолая гармония – это «согласие разно-гласного». И значит, в строении асимметричных форм, воспринимаемых людьми как красивые, также должны прослеживаться определенные закономерности.
Золотое сечение
Основной закон гармонии форм был известен египтянам и древним грекам, индейцам майя и, конечно же, нашим предкам. О нем говорили Пифагор и Евклид, итальянский монах Лука Пачоли назвал его «божественной пропорцией», а Леонардо да Винчи, изучавший эту пропорцию, дал ей имя «золотое сечение».
Золотое сечение — это деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть относится к меньшей так, как весь отрезок относится к большей части (рис. 39).
Золотое сечение обнаруживается везде. Молодые побеги и листья на деревьях, чешуйки на сосновой шишке, семена в корзинках подсолнечника располагаются, подчиняясь закону золотого сечения. В гармоничном сочетании звуков заложена божественная пропорция (звукоряд Пифагора). По закону золотого сечения построена Солнечная система. Немецкий астроном XVIII века Тициус с помощью золотой пропорции нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами Солнечной системы. Один лишь факт противоречил его стройной системе – между Марсом и Юпитером на должном расстоянии не было планеты. Уже после смерти астронома, в начале XIX века, выяснилось, что он был прав, предполагая наличие небесного тела в этом районе Вселенной. На указанном расстоянии был обнаружен пояс астероидов.
Рис. 39. Золотое сечение
Скульптор и теоретик искусства Поликлет установил законы пропорциональности человеческого тела. Пупок делит рост человека в отношении золотого сечения, локоть делит руку, колено – ногу, линия бровей – голову в таком же соотношении, ухо представляет собой фигуру, построенную по закону золотого сечения, – словом, все части тела человека соединяются в целое в божественной пропорции. При других пропорциях тела человек выглядит несуразным и некрасивым. Отношение систолического давления к диастолическому у здорового человека близко к золотой пропорции, и даже в ритмах мозга выявляются те же закономерности. Отклонение от божественного эталона сигнализирует о неполадках в организме.
Таким образом, золотое сечение и законы симметрии составляют основу гармонии мироздания.
Ряд Фибоначчи
Задолго до того, как Леонардо да Винчи назвал совершенную пропорцию золотым сечением, его тезка и соотечественник, математик из Пизы Леонардо, больше известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), написал книгу занимательных математических задач под названием «Книга об абаке» [17] . Благодаря этой книге Европа познакомилась с индийскими цифрами (которые в России называют арабскими), более удобными для счета, чем римские. И благодаря ей человечество уже 1202 году открыло для себя одну из самых удивительных последовательностей, лежащих в основе гармонии мира, – ряд Фибоначчи.
Решая задачу о годовом приплоде пары кроликов, которые размножаются каждый месяц и рождают по паре крольчат, начиная со второго месяца от рождения, Фибоначчи выстроил прогрессию увеличения поголовья кроликов
(табл. 7).Таблица 7. Решение задачи Фибоначчи
Каждое число (начиная с третьего) этой последовательности равно сумме двух предыдущих: 2 + 3 = 5;3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д. Отношение смежных чисел ряда приближается к числу божественной пропорции φ = 0,618 (при делении единичного отрезка в пропорции золотого сечения получившийся больший отрезок равен 0,618, меньший 0,382). Так, 2:3 = 0,666; 3:5 = 0,6; 5:8 = 0,625; 8: 13 = 0,615; 13: 21 = 0,619; 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618 и т. д.
Ряд Фибоначчи и иррациональное число φ обладают множеством удивительных свойств. Деление каждого из чисел ряда Фибоначчи на число, стоящее через одно, дает еще один «золотой коэффициент» – 0,382 (равное 1– φ ). Обратное отношение, то есть деление числа на предшествующее ему, приближается к числу 1,618 (равное 1 :φ). Можно и дальше продолжать ряд «золотых коэффициентов» ряда Фибоначчи, которые дают непрерывное деление отрезка прямой в божественной пропорции, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Золотые геометрические фигуры
На золотом сечении базируются основные геометрические фигуры.
Прямоугольник, в котором длины сторон божественно пропорциональны, стали называть золотым прямоугольником. Он обладает множеством интересных свойств.
Если от него отрезать квадрат, то оставшаяся часть представляет собой золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам. Точки, делящие стороны в божественной пропорции, лежат на закручивающейся внутрь логарифмической спирали – единственной спирали, которая не меняет своей формы при изменении размеров (рис. 40а).
а
б
в
Рис. 40. Геометрические фигуры:
а — золотой прямоугольник;
б — золотой треугольник;
в — пентаграмма
Существует и золотой треугольник (рис. 40б). Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания составляет 1,618.
В пентаграмме (рис. 40в) – пятилучевой звезде – каждая из пяти линий делит другую в отношении золотого сечения, а лучи звезды являются золотыми треугольниками. Внутри звезды находится правильный многоугольник, пересечение диагоналей которого дает еще одну звезду золотого сечения, и так до бесконечности.
Существует золотой кубоид – прямоугольный параллелепипед с ребрами, длины которых находятся в отношении 1,618:1:0,618.
Внутри священных фигур пифагорейцев – икосаэдра и додекаэдра – скрыто 3 золотых взаимно перпендикулярных симметрично пересекающихся прямоугольника. Вершины прямоугольников совпадают с вершинами икосаэдра и в то же время указывают на середины граней додекаэдра.
Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками (структура на основе додекаэдра), и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он и назвал его золотым сечением.
Немецкий ученый физиолог Густав Фехнер изучал отношения людей к геометрическим фигурам, построенным на золотом сечении. Он разработал целый ряд тестов, в которых испытуемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различными соотношениями сторон или нарисовать самый «приятный» многоугольник и т. д. Оказалось, что большинство людей «испытывают симпатии» к золотым фигурам.
Божественные пропорции в архитектуре
Красивое здание обязательно должно быть построено по законам золотого деления. Так ли это на самом деле? Одним из эталонов пропорциональности и уравновешенности является греческий Парфенон, храм, посвященный богине красоты и любви Афродите. На плане его фасада (рис. 41) можно увидеть, что практически нет ни одной детали конструкции, которая не имела бы отношения к золотому сечению. Археологами был найден даже особый циркуль (с заложенными пропорциями золотого сечения), которым пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.
