Но давайте представим другой вариант: скажем, что Джордж не является простым числом. Это значит, что его можно получить путем умножения двух или более простых чисел. Но ни одно простое число из нашего списка не подойдет, так как если мы будем использовать их в наших вычислениях, у нас всегда будет оставаться остаток 1. Следовательно, должны существовать другие простые числа, не из нашего списка, которые путем перемножения дадут нам Джорджа. Опять же мы доказали, что для любого ряда простых чисел всегда будут существовать простые числа, не входящие в него.
Это один из примеров силы и красоты математического умозаключения.
Числа Ферма
Некоторые простые числа экзотичнее других. Числа Ферма, например, имеют вид 22n + 1 и являются простыми. Однако единственными известными числами Ферма являются те, где n = 0, 1, 2, 3 и 4 и равны 3, 5, 17, 257 и 65537 соответственно.
4.3. Безопасность работы в интернете
Математическое понятие: простые числа
Забудьте об электронной почте и социальных сетях. Тогда наиболее глубокое влияние Интернета на мир могут оказывать интернет-магазины. Но онлайн-коммерция таит в себе опасности. Когда вы вбиваете номер своей кредитной карты на такие сайты, как Amazon, и кликаете «Купить», что останавливает киберворов от перехвата этой информации и кражи номера?
Обратимся к математике. Безопасность работы в Интернете и криптография с открытым ключом в целом основаны на простых числах, особом виде чисел, которые делятся только на себя и на 1. (Для сравнения: число 10 делится на себя, 1, 2 и 5 и простым не является.) Примерами простых чисел являются 1, 3, 5, 7 и 11, но их существует бесконечное множество и соответственно могут расти на огромные расстояния. Существует математическое доказательство того, почему простых чисел бесконечное множество, но это уже другая история (см. главу 4.2).
Когда вы вбиваете номер своей кредитной карты онлайн, вы пользуетесь так называемым алгоритмом RSA. Он был назван в честь создателей – Рональда Ривеста (Rivest), Ади Шамира (Shamir) и Леонарда Адлемана (Adleman). Алгоритм был создан в 1977 году и является системой шифрования, которая основывается на огромных простых числах. В сущности, система обеспечивает безопасность ваших личных данных путем преобразования номера вашей кредитки в другой, чрезвычайно длинный номер, который получен в результате умножения двух длинных случайных простых чисел. Вы могли бы превратить этот новый номер обратно в номер своей карточки, если бы знали два простых числа, но безопасность ваших данных обеспечивается еще одним математическим фактом: крайне тяжело разложить большое число на простые числа. На самом деле, для очень длинного числа могут понадобиться сотни и тысячи лет для того, чтобы сеть суперкомпьютеров смогла найти два правильных простых числа.
Хотя в последнее время появилась информация, что система RSA не такая надежная, как думалось. Целостность системы зависит от генерации случайных простых чисел, но программы, которые этим занимаются – известные как генераторы случайных чисел, – кажется, не всегда создают такие уж случайные числа. Такое несоответствие оставляет место для мошенников, которые могут определить эти два простых числа и украсть конфиденциальную информацию.
В настоящее время онлайн-коммерция – а также онлайн-банкинг и связь – кажутся более или менее безопасными, но давайте надеяться, что математики могут разработать новую, более безопасную систему.
Биткойны
Любой, кто использует биткойны – виртуальную валюту, изобретенную в 2008 году, – должен иметь какой-то электронный кошелек, который находится в безопасности от криптографии с открытым ключом. На самом деле биткойн – это первая валюта, которая основывается на криптографии. Чтобы получить доступ к своим биткойнам, у вас должно быть два ключа: один публичный, а другой секретный, как пин-код или пароль. Два ключа математически связаны.
4.4. Чудо и разочарование в бесконечности
Математическое понятие: бесконечность
Все видели знак бесконечности: цифра восемь, лежащая на боку (∞). Но что такое бесконечность и как она связана с математикой?
Иногда бесконечность понимается как невероятно большое число, но такое понятие не совсем точное. Бесконечность – на самом деле не число, это идея. Это концепция непрерывности и безграничности. Тем не менее она появляется в математике снова и снова. Мы говорим, что последовательность чисел в Пи продолжается бесконечно; то же происходит, когда 1 делят на 3. В геометрии мы говорим, что на линии существует бесконечное множество точек и что линии тянутся в обоих направлениях бесконечно. Бесконечность является и родным, и чужим понятием в математическом мире.
Бесконечность также появляется в искусстве. М. К. Эшер изобразил муравьев, ползущих по ленте Мебиуса в, казалось бы, бесконечном путешествии, а в рассказе «Вавилонская библиотека» писатель Хорхе Луис Борхес создал бесконечное хранилище книг, содержащее каждый возможный набор букв и знаков препинания, коллекцию, которая обязательно содержит каждую когда-либо написанную книгу и которая будет написана в будущем.
Понятие бесконечности привело также к весьма странным идеям. В конце XIX века и в начале XX века математик Георг Кантор считал, что бесконечности могут иметь разные размеры. И натуральные числа (1, 2, 3, 4…), и действительные числа (которые включают такие числа, как Пи, 1/3 и 45,6778765) бесконечны, но бесконечность действительных чисел больше, чем натуральных. Размышления о бесконечности приводят и к другим неожиданным понятиям. Вы можете подумать, что количество точек в линии длиной в 1 фут меньше, чем на линии бесконечной длины, но на самом деле обе линии содержат одинаково бесконечное количество точек.
Бесконечность поражает, но, как и многое, связанное с математикой, взрывает мозг самыми загадочными и обескураживающими путями.
Финитизм
Не все математики принимают понятие бесконечности. Одна ветвь философии математики известна как финитизм; ее приверженцы утверждают, что только конечные объекты реальны. Как выразился математик Леопольд Кронекер: «Бог создал натуральные числа. Все остальное – дело рук человека».
4.5. Числа Фибоначчи в природе
Математическое понятие: последовательность Фибоначчи
В 1202 году итальянский математик опубликовал «Книгу абака», которая содержала то, что было признано как магическая последовательность чисел. В последовательности Фибоначчи (в честь математика, которого звали Леонардо Фибоначчи) числа на первый взгляд кажутся безобидными. Последовательность начинается с 1 и 1 (или иногда 0 и 1) и каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Таким образом, так как 1 + 1 = 2, 2 – следующее число в последовательности, потом идут 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Одной интересной особенностью этой последовательности является то, что числа сравнительно быстро становятся большими. (Если посчитать последовательность, состоящую из 18 позиций, получится следующее: 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584.) Но другим более примечательным аспектом последовательности Фибоначчи служит то, что невероятным образом числа Фибоначчи являются частью природы.
Кажется, что, если вы посмотрите на мир с математической точки зрения, вы найдете числа Фибоначчи повсюду. Вы можете их найти, например, в том, как растут листья. Расположение листьев на стебле называется филлотаксисом, от греческого слова, которое переводится как «растение» и «расположение». На некоторых растениях листья прорастают из стебля по спирали. Если вы возьмете один лист и будете продвигаться наверх по стеблю по этой спирали, то сможете посчитать, через сколько листьев вы дойдете до позиции на стебле прямо над тем первым листом. Соотношение числа листьев по ходу стебля от первого листа до листа прямо над первым листом и количества раз, пройденных вокруг стебля, состоит из двух чисел Фибоначчи и называется филлотаксическим соотношением. Например, соотношение листьев яблони составляет 2:5, а для листьев ежевики и лещины обыкновенной – 1:3.
Или возьмите сосновую шишку. Если вы посмотрите сверху на верхушку шишки, вы сможете различить два вида кривых: одни закручиваются по часовой стрелке, другие – против часовой. Если вы посчитаете оба вида, увидите, что они являются смежными числами Фибоначчи.
Пчелы и Фибоначчи
Числа Фибоначчи также можно встретить в родословной медоносных пчел. Так как особи мужского пола развиваются из неоплодотворенных яиц, у них есть только один из родителей (пчелиная матка). Особи женского пола, с другой стороны, развиваются из оплодотворенных яиц и имеют двух родителей. Если проанализировать предков пчел мужского и женского полов, то числа Фибоначчи становятся заметными: мужские особи имеют 1 родителя, 2 бабушек и дедушек, 3 прабабушек и прадедушек, 5 пра-прабабушек и прапрадедушек, 8 пра-прапрабабушек и прапрапрадедушек и так далее. У женских особей 2 родителя, 3 бабушки и дедушки, 5 прабабушек и прадедушек, 8 прапрабабушек и прапрадедушек и так далее.
