тело – а ничем иным Аристархов космос не является – атомами (песчинками), это приведет к
очень большим, но
не бесконечным результатам. Однако это как раз и есть отрицание всего, что означает анализ
для нас. Вселенная нашей физики представляет собой энергичнейшее отрицание всякой материальной ограниченности, как это доказывают неизменно терпящие крушение и тем не менее заново навязываемые уму гипотезы о материальном, т. е. мыслимом опосредованно созерцаемым мировом эфире. Евдокс, Аполлоний и Архимед, без сомнения наиболее изощренные и отважные математики античности, полностью осуществили
чисто оптический анализ ставшего на основе скульптурно-античного граничного значения, прибегая главным образом к циркулю и линейке. Они пользуются продуманными и труднодоступными для нас методами интегрального исчисления, в которых проглядывает лишь видимое сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, представляющие собой исключительно именованные размерные числа и отрезки, а не, как это было у Ферма и прежде всего Декарта, неименованные пространственные отношения, значения точек по отношению к их положению в пространстве. Сюда относится в первую очередь метод исчерпания Архимеда[51] в его недавно открытом трактате, обращенном к Эратосфену, где он, например, обосновывает квадратуру сегмента параболы на исчислении вписанных прямых углов (больше уже не подобных многоугольников). Однако как раз остроумный, бесконечно запутанный способ, которым он, опираясь на некоторые геометрические идеи Платона, достигает результата, являет собой колоссальную противоположность этой интуиции и вроде бы на первый взгляд схожей интуиции Паскаля. Не существует (если всецело отвлечься от Риманова понятия интеграла) более резкой противоположности этому, чем то, с чем мы имеем дело в (к несчастью, называемых так и поныне) квадратурах, где «поверхность» дается как ограниченная функцией и уже даже речи нет о графических средствах. Нигде та и другая математика не подходит одна к другой так близко и нигде с большей отчетливостью не сказывается непреодолимый раскол между душами, выражениями которых они являются.
Чистые числа, сущность которых египтяне словно бы прятали, испытывая глубокую робость перед тайной, в кубическом стиле своей ранней архитектуры, являлись ключом к смыслу всего ставшего, косного, а значит, преходящего также и для греков. Каменное изваяние и научная система отрицают жизнь. Математическое число как формальный базовый принцип простирающегося мира, присутствующее здесь лишь исходя из человеческого бодрствования и только для него, особенностью каузальной необходимости связано со смертью, подобно тому как хронологическое число связано со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь строго математической формы с концом органического бытия, с появлением его неорганического остатка, трупа, все с большей отчетливостью выявляется в качестве источника всякого великого искусства. Развитие ранней орнаментики делается нам заметным уже на утвари и сосудах погребального культа. Числа – это символы преходящего. Косные формы отрицают жизнь. Формулы и законы распространяют по картине природы оцепенение. Числа умерщвляют. Это Матери «Фауста», царящие в величавом одиночестве «в лишенных образов мирах…
……формированье, после измененье,
Извечных смыслов вечное храненье.
Вокруг всей твари образы кружат»{27}.
В предчувствии окончательной тайны Гёте соприкасается здесь с Платоном. Матери, заповедное – платоновские идеи – знаменуют возможности душевности, ее нерожденные формы, которые воплотились в зримом мире, с глубочайшей необходимостью упорядоченном на основе идеи этой душевности, в виде деятельной и созданной культуры, искусства, идей, государства, религии. На этом основывается родство числового мышления данной культуры с ее идеей мира, связь, которая возвышает это мышление над простым знанием и познанием до значения мировоззрения и приводит к тому, что существует столько же математик – числовых миров, – сколько имеется высших культур. Это делает понятным и даже необходимым тот факт, что величайшие мыслители в области математики, эти подлинные художники в царстве чисел, пришли к пониманию решающих математических проблем своих культур с помощью глубоких религиозных интуиций. Так следует представлять себе создание античного, аполлонического числа Пифагором, основателем религии. Это же прачувство руководило Николаем Кузанским, великим епископом Бриксенским, когда ок. 1450 г. он, отталкиваясь от наблюдения бесконечности Бога в природе, открыл основные характерные особенности исчисления бесконечно малых. Лейбниц, окончательно установивший свои методы и обозначения двумя столетиями позже, сам на основе чисто метафизических наблюдений божественного принципа и его связей с бесконечными протяжениями развил идеи analysis situs [топология (лат.)], эту, быть может, гениальнейшую интерпретацию чистого пространства, освобожденного от всего чувственного, богатые возможности которой были развиты лишь в XIX в. Грассманом в его «Учении о протяженности» и прежде всего Риманом, подлинным его творцом, в его символике двусторонних поверхностей, представляющих свойства уравнений. Кеплер же и Ньютон, оба от природы до крайности религиозные, так и сохранили незыблемой свою, подобную Платоновой, убежденность в том, что именно посредством чисел им удалось интуитивно постигнуть сущность божественного миропорядка.
7
Лишь Диофант, как приходится слышать вновь и вновь, освободил античную арифметику от ее привязанности к чувственному, расширил и повел дальше, алгебру же, как учение о неопределенных величинах, хотя и не создал, но представил на обозрение – внезапно, несомненно, как переработку уже имевшихся идей. Правда, то было не обогащение, но полнейшее преодоление античного мироощущения, и уже одно это должно было бы доказывать, что внутренне Диофант уже больше не принадлежал античной культуре. В нем деятельно сказывается новое ощущение числа или, скажем так, ощущение границы в отношении действительного, ставшего – уж больше не греческое, из чувственно-данных граничных значений которого явилась наряду с евклидовой геометрией осязаемых тел еще и пластика обнаженной скульптуры и деньги как монета. Нам неизвестны детали разработки этой новой математики. В «позднеантичной» математике Диофант стоит настолько особняком, что высказывались даже предположения о влиянии со стороны Индии. Однако вновь это окажется воздействием тех раннеарабских высших школ, чьи научные результаты, помимо догматических, исследованы пока еще так недостаточно. Под лежащим на поверхности намерением придерживаться Евклидова хода мыслей у Диофанта появляется новое чувство границы (я называю его магическим), вовсе не сознававшее своей противоположности тому античному представлению, к которому оно стремилось. Идея числа как величины оказывается не просто расширенной, но незаметно снятой. Что такое неопределенное число а и неименованное число 3 (оба они не являются ни величиной, ни мерой, ни отрезком) – на этот вопрос ни за что не мог бы ответить грек. Во всяком случае, в основании диофантовых наблюдений лежит новое, ставшее зримым в этих видах чисел ощущение границы. Само же применяемое у нас буквенное исчисление, в обличье которого сегодня предстает еще раз полностью переосмысленная алгебра, было введено Виета в 1591 г. вначале как ощутимая, но бессознательная оппозиция падкому на все античное счислению Возрождения.
Диофант
