Читаем без скачивания Как же называется эта книга - Рэймонд Смаллиан

Предположим, что на острове есть клад. Тогда "бал" - неправильный ответ на вопрос G, поэтому человек в ответ на G не сказал бы "бал". Следовательно, в ответ на ваш вопрос туземец правдиво сообщил бы, что на вопрос G он бы не ответил "бал". Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы "бал".

Если же клада на острове нет, то "бал" - правильный ответ на вопрос G. Поэтому человек ответил бы на вопрос G "бал". Значит, на ваш вопрос человек ответил бы "да"

(что означает "да, я ответил бы "бал" на вопрос G").

Случай 4: туземец - зомби, и "бал" означает "нет".

Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец ответил бы "бал", но вам бы солгал, сказав, что он не ответил бы "бал". Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы "бал". Предположим теперь, что на острове нет никакого клада. Тогда на вопрос G туземец ответил бы "да" и, следовательно, не ответил бы "бал".

Вам же туземец солгал бы, сказав, что он ответил бы на G "бал". Значит, на ваш вопрос туземец ответил бы "да".

Итак, если на острове есть клад, то в каждом из четырех случаев вы услышите в ответ на свой вопрос "бал". Если же никакого клада на острове нет, то на ваш вопрос туземец ответит "да".

Приведенный нами вопрос - не единственный. Ту же задачу можно решить, задав первому встречному туземцу и другой вопрос, например: "Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если "бал" - правдивый ответ на вопрос, есть ли на острове клад?"

163. Прежде всего я докажу, что свидетель C не может быть зомби. Предположим, что C - зомби. Тогда A и B должны быть братьями. Следовательно, они либо оба зомби, либо оба люди. Предположим, что A и B - -- люди. Тогда "бал" означает "да", поэтому A на вопрос, не виновен ли подсудимый, дал утвердительный ответ. Следовательно, подсудимый не виновен. Предположим теперь, что A и B - зомби. Тогда "бал" означает "нет", а поскольку A зомби и на вопрос, не виновен ли подсудимый, отвечает отрицательно, то подсудимый не виновен. Итак, если C - зомби, то подсудимый не виновен (независимо от того, кто такие A и B - зомби или люди). С другой стороны, если C - зомби, то подсудимый должен быть виновен, так как C утверждает, что подсудимый не виновен, и мы приходим к противоречию. Следовательно, C не может быть зомби, и поэтому C - человек. А поскольку C утверждает, что подсудимый не виновен, то тот действительно не виновен.

164. Так как C - человек, то A и B не братья. Разумеется, это не обязательно означает, что A и B разнотипны: они вполне могут быть однотипными, не будучи братьями. Более того, они должны быть однотипными. Действительно, если бы они были разнотипными, то подсудимый непременно оказался бы виновным. В этом читатель без труда может убедиться сам.

165. Единственный из четырех возможных ответов ("бал", "да", "да" и "нет"), который не могли бы дать ни человек, ни зомби, - это "нет". Действительно, если бы туземец был либо человеком, либо зомби и ответил бы инспектору Крэгу по-английски, то он должен был бы ответить "да". Если бы он ответил на родном языке, то, если "бал" означает "да", сказал бы "бал" (независимо от того, кто он - человек или зомби), а если "бал" означает "нет", сказал бы "да". (Доказательство этих утверждений я предоставлю читателю.) Следовательно, получив любой ответ, кроме "нет", инспектор Крэг не мог бы определить, кем был спрошенный им туземец. А поскольку инспектор сумел установить, кем был туземец, то полученный им ответ гласил "нет", и туземец был полузомби.

166. И в этой задаче, так же как и в предыдущей, туземец должен быть полузомби, а единственный ответ, по которому Крэг мог установить, кто его собеседник, должен быть "да"

(на туземном наречии). Если бы туземец ответил по-английски, то Крэг не мог бы установить, с кем он разговаривает, так как и человек, и зомби на его вопрос ответили бы "да", если "бал" означает "да", и "нет", если "бал" означает "нет". Туземец, ответивший "бал", мог бы оказаться либо человеком, либо зомби, либо полузомби.

XII. Жив ли Дракула?

А. В ТРАНСИЛЬВАНИИ

Несмотря на свидетельства очевидцев, подкрепленные ссылками на литературные источники, у меня были веские основания сомневаться в том, что с графом

Дракулой Задунайским удалось разделаться, когда в могилу этого упыря забили осиновый кол. Я решил отправиться в Трансильванию и самостоятельно докопаться до истины.

Отправляясь в дальние края, я ставил перед собой следующие три задачи: 1) выяснить, жив ли граф Дракула; 2) если его нет в живых, взглянуть на его бренные останки; 3) если он жив, то встретиться с ним.

Прибыв в Трансильванию, я вскоре обнаружил, что около половины ее населения составляют люди, а другую половину - упыри. Отличить упыря от человека по внешнему виду невозможно, но люди (по крайней мере в Трансильвании) всегда говорят правду, а упыри всегда лгут. Положение необычайно усложняется еще и тем, что половина обитателей Трансильвании лишились рассудка и придерживается превратных представлений о действительности: все истинные утверждения безумцы считают ложными, а все ложные утверждения истинными. Другая половина обитателей находится в здравом уме и трезво судит о том, что истинно и что ложно. Таким образом, жители Трансильвании подразделяются на четыре типа: 1) люди в здравом уме; 2) люди, лишившиеся рассудка; 3) упыри в здравом уме; 4) упыри, лишившиеся рассудка.

Человек в здравом уме изрекает только истины. Человек, лишившийся рассудка, всегда лжет. Упырь в здравом уме также всегда лжет. Упырь, лишившийся рассудка, изрекает только истины. Например, человек в здравом уме скажет, что дважды два - четыре. Человек, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он убежден, что дважды два действительно не равно четырем).

Упырь в здравом уме скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он знает, что дважды два равно четырем, и умышленно лжет). Наконец, упырь, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два - четыре (поскольку он убежден, что дважды два не равно четырем, и умышленно лжет).

167.

Однажды мне повстречался трансильванец, который заявил:

"Либо я человек, либо я в здравом уме".

Кем он был в действительности?

168.

Другой трансильванец заявил: "Я не человек в здравом уме".

Кем он был?

169.

Еще один трансильванец заявил: "Я человек, лишившийся рассудка."

Однотипен ли он с трансильванцем из предыдущей задачи?

170.

Однажды я спросил у встречного: "Вы упырь, лишившийся рассудка?" Он ответил (либо "да", либо "нет"), и я узнал, к какому типу он принадлежал.

Кем он был?

171.

Однажды я встретил трансильванца, который заявил: "Я упырь".

Можно ли на основании этой фразы определить, был ли он человеком или упырем? Можно ли на основании той же фразы установить, в своем ли он уме или лишился рассудка?

172.

Некий трансильванец заявляет: "Я лишился рассудка".

а) Можно ли на основании этой фразы определить, в здравом ли он уме?

б) Можно ли на основании той же фразы установить, человек он или упырь?

173. Хитроумная задача.

Утверждение "если Q, то P" называется обратным утверждению "если P, то Q". Существуют два утверждения X и Y, такие, что каждое из них обратно другому, причем:

1) X не следует из Y, а Y - из X;

2) стоит любому жителю Трансильвании высказать любое из утверждений, как из этого следует, что другое утверждение должно быть истинным.

Можете ли вы привести два таких утверждения?

174.

Пусть X - любое утверждение и некий трансильванец считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть истинным? Предположим, что наш трансильванец не считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть ложным?

175.

Предположим, что некий трансильванец заявляет: "Я считаю X истинным". Следует ли отсюда, что X должно быть истинным, если наш трансильванец человек? Следует ли отсюда, что должно быть ложно, если наш трансильванец - -- упырь?

Решение этой задачи устанавливает некий важный общий принцип!

176.

Однажды мне встретились два трансильванца A и B. Я спросил у A: "В человек?" A ответил: "Думаю, да". Тогда я спросил у B: "Как вы думаете, A - человек?" Что ответил B? (Предполагается, что B ответил либо "да", либо "нет".)

177.

Назовем трансильванца надежным, если он либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, и ненадежным, если он либо человек, лишившийся рассудка, либо упырь в здравом уме. Надежные трансильванцы всегда высказывают истинные утверждения, ненадежные высказывают ложные утверждения (либо из-за расстройства ума, либо в силу заблуждения).

Предположим, что вы спрашиваете у трансильванца: "Вы надежны?" Он отвечает вам либо "да", либо "нет". Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: рыцарь или не упырь? Можно ли определить, в здравом ли он уме?

178.

Предположим, что вы задаете трансильванцу другой вопрос:

"Вы думаете, что вы надежны?" Он отвечает либо "да", либо "нет". Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: упырь или человек? Можно ли установить, в здравом ли он уме?