Таким образом, наше футбольное поле имеет размеры (2;6;8).
1). Дано: симметричное футбольное поле размера (n1;n2;n3).
Определить: количество незанятых пересечений – N.
Решение: из рисунка 6 очевидно, что: N=2(n1-1)+(n2-1)(n3-1)-1
для нашего футбольного поля: N=2(2-1)+(6-1)(8-1)-1=36
2). Дано: симметричное футбольное поле размера (n1;n2;n3).
Доказать: на данном поле всегда чётное количество незанятых пересечений.
Доказательство: т.к. поле симметрично, то очевидно, что n1, n2, n3 – всегда являются чётными числами. Введём обозначения: Н – нечётное число; Ч – чётное число. Тогда:
Из формулы определения количества пустых пересечений следует:
N=Ч(Ч-Н)+(Ч-Н)(Ч-Н)-Н=ЧН+НН-Н=Ч+Н-Н=Н-Н=Ч
Таким образом, N=Ч всегда.
3). Дано: диаграмма с изображением сыгранной партии или части партии.
Определить: сколько было сделано ходов.
Решение: т.к. игрок ходит до тех пор пока маршрут хода не попадёт в пустое пересечение – очевидно, что, подсчитав количество пересечений, превратившихся из пустых в занятые, мы определим и количество совершённых ходов.
На рисунке 7-1 дана диаграмма сыгранной партии, а на рисунке 7-2 показаны «превратившиеся» пересечения (они обозначены красным цветом).
Обозначим количество «превратившихся» пересечений через P. Из рисунка 7-2 очевидно, что: Р=33-1=8
Таким образом, в партии было сделано 8 ходов.
4). Дано: диаграмма с изображением сыгранной партии или части партии.
Доказать: 1. количество рёбер, исходящих из центра поля и последнего занятого пересечения всегда нечётно;
2. количество рёбер, исходящих из любого другого занятого пересечения всегда чётно.
Ребро – отрезок, соединяющий два занятых пересечения.
Доказательство:
1. первый ход делается из центра поля (например d6-d7). Таким образом, после первого хода из центра поля исходит одно ребро. При дальнейшей игре «встав» в центр поля игрок должен от него «оттолкнуться».
Обозначим количество рёбер, исходящих из центра поля, через С. Тогда очевидно, что: С=1+2+…+2=Н+Ч+…+Ч=Н+Ч=Н
Максимальное количество рёбер, исходящих из центра поля, равно 7 (после трёх прохождений через центр, на четвёртом игрок попадает в тупик).
Очевидно, что количество рёбер, исходящих из последнего занятого пересечения равно 1, а следовательно нечётно.
2. Пересечения не являющиеся ни последними, ни центром поля сами были последними, но потом из них делали ход, т.е. количество рёбер, исходящих из данных пересечений, становилось равным 2. При дальнейшей игре «встав» в данное пересечение игрок должен от него «оттолкнуться». Обозначим количество рёбер, исходящих из такого пересечения (которое не является ни последним, ни центром поля), через S. Тогда очевидно, что:
S=2+2+…+2=Ч+Ч+…+Ч=Ч
На рисунке 8-1 приведён пример конструкции. Из данного положения ходят Нижние ворота (Н), хотя для них нет выхода, они «чудесным образом» его находят, и проход к воротам с лёгкостью перекрывается (рис. 8-2). Дело в том, что Нижние ворота (Н) попросту «смухлевали». Из пересечений d3 и c4 исходит нечётное количество рёбер. Этого быть никак не может, т.к. в соответствии с доказанным выше утверждением из пересечений d3 и c4 должно исходить чётное количество рёбер. Нижние ворота (Н) просто-напросто дорисовали «недостающее» ребро (c4;d3), через которое им забивается гол!
5). Дано: симметричное футбольное поле произвольных размеров.
Дать определение: понятия чётных и нечётных пересечений.
5.1. В ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ существует два вида пересечений: тупиковые и нетупиковые.
Тупиковыми называются пересечения, в которых можно попасть в тупик. Соответственно нетупиковыми называются пересечения, в которых нельзя попасть в тупик.
Попасть в тупик можно, если почти все рёбра, исходящие из данного пересечения заняты, т.е. если у данного пересечения осталось только одно незанятое ребро. Пример такого пересечения показан на рисунке 9.
Занявший такое пересечение игрок попадает в «тупик» и по правилам ФУТБОЛА НА БУМАГЕ проигрывает (рис. 10).
Нельзя попасть в «тупик» если у данного пересечения осталось два незанятых ребра. Пример такого пересечения показан на рисунке 11.
Занявший такое пересечение игрок по правилам ФУТБОЛА НА БУМАГЕ должен продолжить ход. Т.о. больше нет возможности сходить в это пересечение, т.к. все исходящие из него рёбра заняты (рис. 12).
Т.о. можно условно обозначить тупиковые пересечения – нечётными, а нетупиковые – чётными.
5.2. Теперь давайте исследуем на чётность все виды пересечений футбольного поля (кроме воротных пересечений – они этим свойством не обладают, т.к. по правилам ФУТБОЛ НА БУМАГЕ, если такое пересечение занято – одна из сторон автоматически проигрывает партию; это особенные пересечения).
В ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ существует семь видов пересечений (они показаны на рисунке 13).
Исследование на чётность:
1 – центр поля (d6):
Из этого пересечения делается первый ход, после чего от него отходят семь незанятых граней (рис. 14).
При дальнейшей игре, заняв центр, нужно от него «оттолкнуться», т.е. каждый раз будут заниматься две грани: 7:2=2×3+1
Т.е. после трёх прохождений через центр от него будет отходить одна незанятая грань. Если эту грань занять – ты попадёшь в тупик. Таким образом, центр – это нечётное пересечение.
2 – краевые пересечения (a3-…-a9; g3-…-g9; b2; b10; f2; f10):
Поскольку эти пересечения с самого начала игры считаются занятыми, то, сходив в одно из таких пересечений, от него надо «оттолкнуться». После этого от данного пересечения отходит одна грань (рис. 15).
Заняв эту грань – ты попадёшь в тупик. Таким образом, краевые пересечения являются нечётными.
3 – угловые пересечения (a2; g2; a10; g10):
Очевидно, что данные пересечения являются нечётными, поскольку от них отходит всего одна грань, заняв которую ты попадаешь в тупик.
4 – полевые пересечения ((b3-…b9;…; f3-…f9) – кроме d6):
Эти пересечения в начале партии являются пустыми и по ходу игры «превращаются» в занятые. Это происходит следующим образом: одна из сторон занимает полевое пересечение и в нём «останавливается», затем другая сторона ходит из этого пересечения. Т.о. от полевого пересечения будут отходить шесть незанятых граней (рис. 16):
При дальнейшей игре, заняв полевое пересечение, нужно от него «оттолкнуться», т.е. каждый раз будут заниматься две грани: 6:2=2×3
Т.е. после трёх прохождений через полевое пересечение ты займёшь все грани и дальнейший проход в такое пересечение невозможен. То есть, в полевом пересечении нельзя попасть в тупик, оно является чётным.
