Дальнейшее развитие З. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты возникновения некоторых математических знаков
знак значение Кто ввёл Когда введён Знаки индивидуальных объектов ¥ бесконечность Дж. Валлис 1655 e' основание натуральных логарифмов Л. Эйлер 1736 p отношение длины окружности к диаметру У. Джонс Л. Эйлер 1706 1736 i корень квадратный из -1 Л. Эйлер 1777 (в печати 1794) i j k единичные векторы, орты У. Гамильтон 1853 П (а) угол параллельности Н.И. Лобачевский 1835 Знаки переменных объектов x,y, z' неизвестные или переменные величины Р. Декарт 1637 r вектор О. Коши 1853 Знаки индивидуальных операций + сложение немецкие математики Конец 15 в. –' вычитание ´ умножение У. Оутред 1631 × умножение Г. Лейбниц 1698 : деление Г. Лейбниц 1684 a2, a3,…, an степени Р. Декарт 1637 И. Ньютон 1676 корни К. Рудольф 1525 А. Жирар 1629 Log логарифм И. Кеплер 1624 log Б. Кавальери 1632 sin синус Л. Эйлер 1748 cos косинус tg тангенс Л. Эйлер 1753 arc.sin арксинус Ж. Лагранж 1772 Sh гиперболический синус В. Риккати 1757 Ch гиперболический косинус dx, ddx, … дифференциал Г. Лейбниц 1675 (в печати 1684) d2x, d3x,… интеграл Г. Лейбниц 1675 (в печати 1686) производная Г. Лейбниц 1675 ¦¢x производная Ж. Лагранж 1770, 1779 y’ ¦¢(x) Dx разность Л. Эйлер 1755 частная производная А. Лежандр 1786 определённый интеграл Ж. Фурье 1819-22 S сумма Л. Эйлер 1755 П произведение К. Гаусс 1812 ! факториал К. Крамп 1808 |x| модуль К. Вейерштрасс 1841 lim предел У. Гамильтон, многие математики 1853, начало 20 в. lim
n = ¥ lim
n ® ¥ x дзета-функция Б. Риман 1857 Г гамма-функция А. Лежандр 1808 В бета-функция Ж. Бине 1839 D дельта (оператор Лапласа) Р. Мёрфи 1833 Ñ набла (оператор Гамильтона) У. Гамильтон 1853 Знаки переменных операций jx функция И. Бернули 1718 f ('x) Л. Эйлер 1734 Знаки индивидуальных отношений =' равенство Р. Рекорд 1557 >' больше Т. Гарриот 1631 <' меньше º сравнимость К. Гаусс 1801 || параллельность У. Оутред 1677 ^ перпендикулярность П. Эригон 1634
И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде
и для бесконечно малого приращения o. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ¥.
Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов
dx, d 2x, d 3x
и интеграла
Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) — окружность, периферия, 1736], мнимой единицы
(от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс, 1841), вектора (О. Коши, 1853), определителя
(А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.
Наряду с указанным процессом стандартизации З. м. в современной литературе весьма часто можно встретить З. м., используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения математической логики, среди З. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам З. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.
Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.
Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):
A1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.
Б1) Знаки арифметических действий +, —, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования
знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.
B1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b)(a — b) = a2 — b2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х2 буквы х и у — произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения
x2 — 1 = 0
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и —1).
С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:
A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения f, F, j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:
Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.
