.
Метод разложения в Р. является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближённых значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.
При численных расчётах, когда Р. заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку «скорости сходимости» Р.). При этом целесообразно использовать Р., у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n. Например, в случае Р. (4) оценка указанной погрешности имеет вид 0 < е — sn < 1/n! n.
Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Р. (3), имеются и другие Р., например
,
однако он сходится значительно «медленнее» Р. (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления числа p. Существуют методы преобразования Р., иногда улучшающие скорость сходимости Р.
На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р.
1 - 1 + 1 - 1 +... (5)
и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.
Числовые ряды. Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {un} и {Sn} таких, что Sn = u1 +... + un, n = 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее Sn называется частичной суммой n-го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {Sn}. В этом случае предел
называется суммой Р. и пишется
Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {sn} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены un этого Р. определяются по формулам u1 = s1,..., un+1 = sn+1 — sn,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.
Р. называется остатком порядка n Р. (1). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка n Р. (1) сходится и его сумма равна rn, то s = sn + rп.
Если Р. (1) и Р.
сходятся, то сходится и Р.
,
называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.
,
называемый произведением Р. на число l, также сходится и
.
Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер ne, что при любом n ³ ne и любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство
.
Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то
Обратное неверно: n-й член так называемого гармонического ряда
стремится к нулю, однако этот Р. расходится.
Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
,
поэтому в этом случае пишут
.
Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.
(7)
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
.
С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.
(8)
сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.
Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ un £ c un, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n a. Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом
,
где
сходится, поскольку сходится Р.
.
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р. сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом un = sin (1/n 2) сходится, ибо
(a = 2)
a Р. с un = tg (p/n) расходится, здесь
(a = 1)
Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует (un > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует (un ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.
Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
.
Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
абсолютно сходится, а Р.
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
(9)
— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений umun членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s1 и s2, то s = s1s2, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
.
Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
