g = —grad j. (2)
Так, потенциал поля Т. частицы массы m может быть записан в виде:
. (3)
Если задано произвольное распределение плотности вещества в пространстве, r = r(r ), то теория потенциала позволяет вычислить гравитационный потенциал j этого распределения, а следовательно, и напряжённость гравитационного поля g во всём пространстве. Потенциал j определяется как решение Пуассона уравнения .
Dj = 4pG r, (4)
где D — Лапласа оператор .
Гравитационный потенциал какого-либо тела или системы тел может быть записан в виде суммы потенциалов частичек, слагающих тело или систему (принцип суперпозиции), то есть в виде интеграла от выражений (3):
(4a)
Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел), r — расстояние элемента массы dm от точки, в которой вычисляется потенциал. Выражение (4a) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, например, к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4a).
Ньютоновская теория Т. и ньютоновская механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны многие др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В современной астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движения и строение небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение гравитационного поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрическая разведка) и, следовательно, непосредственно решать важные прикладные задачи. Однако в некоторых случаях, когда поля Т. становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со скоростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона.
Необходимость обобщения закона тяготения Ньютона Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение Т. и уже поэтому не может быть согласована со специальной теорией относительности (см. Относительности теория ), утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость ньютоновской теории Т. Так как эта теория не согласуется со специальной теорией относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости порядка скорости света с. Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала j в этой точке (на бесконечности j считается равным нулю). Таком образом, теорию Ньютона можно применять только в том случае, если
|j | << c2 . (5)
В полях Т. обычных небесных тел это условие выполняется: так, на поверхности Солнца |j |/c2 » 4×10-6 , а на поверхности белых карликов — порядка 10-3 .
Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц даже в слабом поле Т., удовлетворяющем условию (5), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость, сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для расчёта траектории света в поле Т. Наконец, теория Ньютона неприменима при расчётах переменного поля Т., создаваемого движущимися телами (например, двойными звёздами) на расстояниях r > l = сt, где t — характерное время движения в системе (например, период обращения в системе двойной звезды). Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Т. на любом расстоянии от системы определяется формулой (4a), то есть положением масс в тот же момент времени, в который определяется поле. Это означает, что при движении тел в системе изменения гравитационного поля, связанные с перемещением тел, мгновенно передаются на любое расстояние r. Но, согласно специальной теории относительности, изменение поля, происходящее за время t, не может распространяться со скоростью, большей с.
Обобщение теории Т. на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915—16. Новая теория была названа её творцом общей теорией относительности.
Принцип эквивалентности Самой важной особенностью поля Т., известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой теории, является то, что Т. совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, химического состава и др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её поля Т. с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Этот факт был установлен опытным путём ещё Г. Галилеем и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы mT , определяющей взаимодействие тела с полем Т. и входящей в закон (1), и инертной массы mИ , определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона (см. Ньютона законы механики ). Действительно, уравнение движения тела в поле Т. записывается в виде:
mИ а = F = mT g, (6)
где а — ускорение, приобретаемое телом под действием напряжённости гравитационного поля g. Если mИ пропорциональна mТ и коэффициент пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы измерения так, что этот коэффициент станет равен единице, mИ = mТ ; тогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а не зависит от массы и равно напряжённости g поля Т., а = g , в согласии с законом Галилея. (О современном опытном подтверждении этого фундаментального факта см. ниже.)
Таким образом, тела разной массы и природы движутся в заданном поле Т. совершенно одинаково, если их начальные скорости были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением тел в поле Т. и движением тел в отсутствие Т., но относительно ускоренной системы отсчёта. Так, в отсутствие Т. тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, например, из кабины космического корабля, который движется вне полей Т. с постоянным ускорением за счёт работы двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в постоянном однородном поле Т. Силы инерции, действующие в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих в истинном поле Т. в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём) эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и процедуру обратную описанной выше имитации поля Т. ускоренной системой отсчёта, а именно, можно «уничтожить» в данной точке истинное гравитационное поле введением системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно, хорошо известно, что в кабине космического корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Т., наступает состояние невесомости — не проявляются силы тяготения. Эйнштейн предположил, что не только механическое движение, но и вообще все физические процессы в истинном поле Т., с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие Т., с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил название «сильного принципа эквивалентности» в отличие от «слабого принципа эквивалентности», относящегося только к законам механики.
