соблюдением правил. Выбор выполняется почти автоматически, поскольку слияние частных решений не нарушает правил. В этом еще одна мощь рекурсии.
Решение исходной задачи свелось к решению двух подзадач и одному ходу. В отличие от задачи сортировки слиянием, обе подзадачи имеют не половинный размер, а размер, лишь на единицу меньший исходного. Это, казалось бы, незначительное изменение приводит к серьезным потерям эффективности вычислений. Если сложность в первом случае имела порядок n*iog(n), то теперь она становится экспоненциальной. Давайте проведем анализ временных затрат для ханойских башен (и всех задач, сводящихся к решению двух подзадач размерности n-1). Подсчитаем требуемое число ходов T(n). с учетом структуры решения:
T(n) = 2Т(n-1) +1
Простое доказательство по индукции дает:
T(n) = 2n-1 + 2n-2 +… + 2 +1 = 2n -1
Можно показать, что последовательность ходов, реализуемая рекурсивным алгоритмом, является оптимальной, так что никакой другой алгоритм не может решить задачу за меньшее число ходов.
Быстрая сортировка Хоара
Продолжая тему рекурсии, познакомимся с реализацией на C# еще одного известного рекурсивного алгоритма, применяемого при сортировке массивов. Описанный ранее рекурсивный алгоритм сортировки слиянием имеет один существенный недостаток — для слияния двух упорядоченных массивов за линейное время необходима дополнительная память. Разработанный Ч. Хоаром метод сортировки, получивший название быстрого метода сортировки — Quicksort, не требует дополнительной памяти.
Хотя этот метод и не является самым быстрым во всех случаях, но на практике он обеспечивает хорошие результаты. Нужно отметить, что именно этот метод сортировки встроен в класс System.Array.
Идея алгоритма быстрой сортировки состоит в том, чтобы выбрать в исходном массиве некоторый элемент M, затем в начальной части массива собрать все элементы, меньшие M. Так появляются две подзадачи размерности — k и n-k, к которым рекурсивно применяется алгоритм. Если в качестве элемента M выбирать медиану сортируемой части массива, то обе подзадачи имели бы одинаковый размер и алгоритм быстрой сортировки был бы оптимальным по времени работы. Но расчет медианы требует своих затрат времени и усложняет алгоритм. Поэтому обычно элемент M выбирается случайным образом. В этом случае быстрая сортировка оптимальна лишь в среднем, а для плохих вариантов (когда в качестве M всякий раз выбирается минимальный элемент) имеет порядок n2.
Несмотря на простоту идеи, алгоритм сложен в своей реализации, поскольку весь построен на циклах и операторах выбора. Я проводил построение алгоритма параллельно с обоснованием его корректности, введя инварианты соответствующих циклов. Текст обоснования встроен в текст метода. Приведу его, а затем дам некоторые объяснения. Вначале, как обычно, приведу нерекурсивную процедуру, вызывающую рекурсивный метод:
/// <summary>
/// Вызывает рекурсивную процедуру QSort,
/// передавая ей границы сортируемого массива.
/// Сортируемый массив tower1 задается
/// соответствующим полем класса, public void Quicksort ()
{
QSort(0,size-1);
}
Вот чистый текст рекурсивной процедуры быстрой сортировки Хоара:
void QSort(int start, int finish)
{
if (start!= finish)
{
int ind = rnd.Next(start,finish);
int item = tower1[ind];
int ind1 = start, ind2 = finish;
int temp;
while (ind1 <=ind2)
{
while((ind1 <=ind2)&& (tower1[ind1] < item)) ind1++;
while ((ind1 <=ind2)&&(tower1[ind2] >= item)) ind2--;
if (ind1 < ind2)
{
temp = tower1[ind1]; tower1[ind1] = tower1[ind2];
tower1[ind2] = temp; ind1++; ind2--;
}
}
if (ind1 == start)
{
temp = tower1[start]; towerl[start] = item;
tower1[ind] = temp;
QSort(start+1,finish);
}
else
{
QSort(start,ind1-1);
QSort(ind2+1, finish);
}
}
}//QuckSort
Проведите эксперимент — закройте книгу и попробуйте написать эту процедуру самостоятельно. Если вам удастся сделать это без ошибок и она пройдет у вас с первого раза, то вы — блестящий программист и вам нужно читать другие книги. Я полагаю, что в таких процедурах ошибки неизбежны и для их исправления требуется серьезная отладка. Полагаю также, что помимо обычного тестирования полезно применять обоснование корректности, основанное на предусловиях и постусловиях, инвариантах цикла. Проектируя эту процедуру, я параллельно встраивал обоснование ее корректности. Это не строгое доказательство, но, дополняя тестирование, оно достаточно, чтобы автор поверил в корректность процедуры и представил ее на суд зрителей, как это сделал я.
/// <summary>
/// Небольшая по размеру процедура содержит три
/// вложенных цикла while, два оператора if и рекурсивные
/// вызовы. Для таких процедур задание инвариантов и
/// обоснование корректности облегчает отладку.
/// </summary>
/// <param name="start">нaчaльный индекс сортируемой части
/// массива tower</param>
/// <param name="finish">конечный индекс сортируемой части
/// массива tower</param>
/// Предусловие: (start <= finish)
/// Постусловие: массив tower отсортирован по возрастанию
void QSort (int start, int finish)
{
if (start!= finish)
//если (start = finish), то процедура ничего не делает,
//но постусловие выполняется, поскольку массив из одного
//элемента отсортирован по определению. Докажем истинность
//постусловия для массива с числом элементов >1.
{
int ind = rnd.Next(start,finish);
int item = tower1[ind];
int ind1 = start, ind2 = finish;
int temp;
/// Введем три непересекающихся множества:
/// S1: {tower1(i), start <= i =< ind1-1}
/// S2: {tower1(i), ind1 <= i =< ind2}
/// S3: {tower1(i), ind2+1 <= i =< finish}
/// Введем следующие логические условия,
/// играющие роль инвариантов циклов нашей программы:
/// Р1: объединение S1, S2, S3 = towerl
/// Р2: (S1 (i) < item) Для всех элементов S1
/// Р3: (S3 (i) >= item) Для всех элементов S3
/// Р4: item — случайно выбранный элемент tower1
/// Нетрудно видеть, что все условия становятся
/// истинными после завершения инициализатора цикла.
/// Для пустых множеств S1 и S3 условия Р2 и РЗ
/// считаются истинными по определению.
/// Inv = P1 & Р2 & РЗ & Р4
while (ind1 <=ind2)
{
while((ind1 <=ind2)&& (tower1[ind1] < item)) ind1++;
// (Inv == true) & ~B1 (B1 — условие цикла while)
while ((ind1 <=ind2)&& (tower1[ind2] >= item))
