Задача 10. Сделайте вывод, если это возможно:
1) Сахар сладкий. Некоторые сладкие вещи очень нравятся детям.
2) Некоторые горные кручи непреодолимы. Все заборы вполне преодолимы.
3) Гусеницы не отличаются красноречием. Джон красноречив.
4) Все шутки придуманы для того, чтобы смешить людей. Ни один закон не шутка.
5) Музыка, которую слышно, вызывает колебания воздуха. Музыка, которую не слышно, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.
Задача 11. Придумайте свои примеры верных и неверных рассуждений про всех и некоторых.
Задача 12. В следующем рассуждении истинность исходных высказываний не вызывает сомнения. Верен ли вывод? Почему?
Все сочинения Пушкина нельзя прочитать за одну ночь. «Сказка о рыбаке и рыбке» – сочинение Пушкина. Следовательно, «Сказку о рыбаке и рыбке» нельзя прочитать за одну ночь.
Занятие 7. Доказательство от противного
Задача 1. Если рыцарь встречает дракона, то рыцарь вступает в
бой.
1) Составьте к этому высказыванию обратное, противоположное и противоположное обратному.
2) Известно, что рыцарь вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона?
3) Рыцарь не вступил в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона?
Задача 2. Многозначное число не содержит повторяющихся цифр. Докажите, что оно не может быть произведением двух меньших чисел, состоящих только из единиц и нулей.
Задача 3. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечной доске. Крестики ходят первыми. Выигрывает тот, кто смог поставить пять своих значков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Докажите, что крестики могут как минимум не проиграть.
Задача 4. В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.
Задача 5. Острова архипелага связаны мостами так, что с каждого острова можно дойти до любого другого. Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное. «Докажем», что можно обойти архипелаг, пройдя по каждому мосту ровно один раз.
«Доказательство». Предположим противное: хотя бы с трех островов ведет нечетное число мостов. Заходя на остров, мы «тратим» два моста: по одному вошли, по другому вышли. Поэтому мосты, выходящие с каждого острова, можно объединить в пары. Нечетное число мостов может быть только на самом первом острове (мы с него вышли первый раз, не заходя перед этим) и на последнем (зашли, но не вышли). Если островов с нечетным числом мостов хотя бы три, приходим к противоречию, и пройти по всем мостам ровно один раз нельзя. А если таких островов не более двух, то можно.
Верно ли это «доказательство»?
Задача 6*. Конечно или бесконечно множество простых чисел?
Задача 7. Петя сказал: «Если кот шипит, то рядом собака, и наоборот, если собаки рядом нет, то кот не шипит». Не сказал ли он что-то лишнее?
Задача 8. Все знают: когда Петя готов к уроку, он всегда поднимает руку. И вдруг…
1) Двоечник Вася точно знает, что сегодня Петя не готов к уроку. «Значит, он не будет поднимать руку», – думает Вася. Верно ли он рассуждает?
2) Марья Ивановна видит, что Петя не поднимает руку. «Ага, значит, он к уроку не готов. Вот сейчас вызову и двойку поставлю!» – думает коварная Марья Ивановна. Верно ли она рассуждает?
Задача 9. В вершинах куба расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Докажите, что есть ребро, числа на концах которого отличаются не менее чем на 3.
Задача 10. Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Задача 11. Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трех чисел на каждом из шести отрезков была бы одной и той же?
Задача 12. Двое играют в игру «Щелк!». У них есть прямоугольная шоколадка, разделенная на дольки. Левая нижняя долька отравлена. Ходят по очереди. За ход можно съесть произвольную дольку и все находящиеся справа и сверху от нее. Съевший отравленную дольку проигрывает. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки (предъявлять стратегию не обязательно).
Задача 13. Круг разбит на 25 секторов, пронумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 25. В одном из секторов сидит кузнечик. Он прыгает по кругу, каждым своим прыжком перемещаясь по часовой стрелке на количество секторов, равное номеру текущего сектора. Докажите, что в некотором секторе кузнечик не побывает никогда.
Задача 14. 1) Несколько мальчиков стали в ряд, при этом разница в росте между двумя соседними не более 10 см. Потом их построили по росту. Докажите, что и теперь разница в росте между двумя соседними мальчиками не более 10 см.
2) На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берется по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.
Задача 15. Найдите ошибку в рассуждении.
Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем прилежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых. Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получается, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! С этим мы, учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, значит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых учеников больше, чем прилежных.
Занятие 8. Равносильность
Задача 1. 1) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Что можно сказать об истинности высказываний А ⇒ Б и Б ⇒ А?
2) Известно, что высказывание А ⇒ Б истинно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А ⇒ Б?
3) Известно, что высказывание А ⇒ Б ложно. Можно ли что-то сказать об истинности высказывания А Б?
Приведите для каждого случая примеры подходящих высказываний.
Задача 2. Бабушка печет пирог в те и только те дни, когда ждет гостей.
1) Бабушка печет пирог. Можно ли утверждать, что она сегодня ждет гостей?
2) Бабушка не печет пирог. Можно ли утверждать, что сегодня она не ждет гостей?
Задача 3. Равносильны ли высказывания А и Б? Если нет, то следует ли хотя бы одно из них из другого?
1) А: «Некоторые принцессы – красавицы»; Б: «Некоторые красавицы – принцессы».
2) А: «Все принцессы – красавицы»; Б: «Все красавицы – принцессы».
3) А: «Число N кратно 11»; Б: «Сумма цифр числа N, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах».
4) А: «Число N является квадратом натурального числа»; Б: «У числа N нечетное число делителей».
5) А: «У любой девочки из 6 „А“ больше друзей среди одноклассников, чем у любого мальчика из 6 „А“ среди одноклассниц»; Б: «В 6 „А“ мальчиков больше, чем девочек».
Задача 4. Чтобы доказать равносильность двух утверждений А и Б, необходимо доказать две теоремы: А ⇒ Б и Б ⇒ А. А какое наименьшее число теорем надо доказать, чтобы убедиться в равносильности: а) трех утверждений; б) десяти утверждений?
Задача 5*. В лифте многоэтажного дома работают только две кнопки: одна поднимает лифт на х этажей, вторая опускает на у этажей (если это возможно при данном положении лифта), где натуральные числа х и у меньше количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:
(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.
(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться на следующий.
(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на предыдущий.
1) Покажите, что в зависимости от значений х и у каждое утверждение может быть как верным, так и неверным.
2) Между какими из этих утверждений можно поставить знак следствия и получить верное высказывание? Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?
Задача 6. Иа-Иа считает, что у Винни-Пуха хорошее настроение бывает тогда и только тогда, когда Винни-Пух хорошенько подкрепился. Съев всё, что было у Кролика, Винни-Пух застрял в норе, и его настроение сразу испортилось. Прав ли Иа-Иа?
Задача 7. Будем считать, что трава зеленая, а небо голубое. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны:
1) Если трава зеленая, то небо голубое.
2) Если трава зеленая, то небо оранжевое.
3) Если трава оранжевая, то небо зеленое.
