Рис. 3.11. Иллюстрация перемножения двух комплексных чисел
3.2.17. Построение графиков функций в Maplet-окне
При изучении графиков элементарных функций вне особенностей системы Maple полезно Maplet-приложение, окно которого представлено на рис. 3.12. Открывается это окно исполнением команды Tools→Precalcus→Standard Functions… при работе в стандартном интерфейсе Maple 9.5.
Рис. 3.12. Maplet-окно для изучения функций и построения их графиков
В окне в разделе определения функций Define Function имеется список элементарных функций, графики которых можно просматривать. Однако, возможно построение и графиков простых функций более сложного вида, например x*sin(x) вместо sin(x) — это и иллюстрирует график, представленный на рис. 3.12. Maplet-окно генерирует команду на Maple-языке, которая строит график заданной функции.
3.3. Работа со специальными функциями
3.3.1. Обзор специальных математических функций
Специальные математические функции являются решениями дифференциальных уравнений, которые невозможно представить через элементарные функции. Через такие функции нередко представляются и многие интегралы. Наиболее мощные из СКМ, например Maple, широко используют специальные математические функции в ходе символьных преобразований. Рассмотрим наиболее важные специальные математические функции.
Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений дифференциального уравнения вида:
Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается формулой:
где
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функция Бесселя. J(z) и J_(z) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений (так называемые функции Бесселя первого рода):
где для гамма-функции используется следующее представление:
Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J(z), определяется как
и задает функции Бесселя второго рода Y(z).
Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя связаны следующим выражением:
H(1)v(z) = Jv(z) + iYv(z),
H(2)v(z) = Jv(z) - iYv(z).
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа — называется модифицированным уравнением Бесселя, и его решения известны как модифицированные функции Бесселя I(z) и I_(z). K(z) — второе решение модифицированного уравнения Бесселя, линейно независимое от I(z). I(z) и K(z) определяются как:
и
Бета-функция определяется как:
где Г(z) — гамма-функция. Неполная бета-функция определяется интегральным выражением:
Эллиптические функции Якоби определяются интегралом:
В некоторых случаях при определении эллиптических функций используются модули k вместо параметра m. Они связаны выражением:
k² = m = sin² α.
Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом:
Функция ошибки (интеграл вероятности) определяется следующим образом:
erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X.
Остаточная функция ошибки задается соотношением:
Встречается и масштабированная остаточная функция ошибки. Эта функция определяется так:
eifcx(x) = еx² erfc(x)
Интегральная показательная функция определяется следующим образом:
Гамма-функция определяется выражением:
Неполная гамма-функция определяется как:
Перейдем к функциям, представляющим ортогональные полиномы. Функция Лежандра определяется следующим образом:
где Рn(х) — полином Лежандра степени n, определяется так:
3.3.2. Специальные математические функции системы Maple 9.5
Maple 9.5 имеет практически полный набор специальных математических функций:
• AiryAi (Bi) — функции Эйри;
• AngerJ — функция Ангера;
• bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
• Bessell (J, K, Y) — функции Бесселя разного рода;
• Beta — бета-функция;
• binomial — биноминальные коэффициенты;
• Chi — интегральный гиперболический косинус;
• Сi — интегральный косинус;
• csgn — комплексная сигнум-функция;
• dilog — дилогарифм;
• Dirac — дельта-функция Дирака;
• Ei — экспоненциальный интеграл;
• EllipticCE (CK, CPi, Е, F, K, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
• erf — функция ошибок;
• erfc — дополнительная функция ошибок;
• euler — числа и полиномы Эйлера;
• FresneIC (f, g, S) — интегралы Френеля;
• GAMMA — гамма-функция;
• GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;
• HankelH1 (Н2) — функции Ганкеля;
• harmonic — частичная сумма серии гармоник;
• Heaviside — функция Хевисайда;
• JacobiAM (CN, CD, CS, DN, DC, DS, NC, ND, NS, SC, SD, SN) — эллиптические функции Якоби;
• JacobiTheta1 (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;
• JacobiZeta — зет-функция Якоби;
• KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;
• Li — логарифмический интеграл;
• InGAMMA — логарифмическая гамма-функция;
• MeijerG — G-функция Мейджера;
• pochhammer — символ Похгамера;
• polylog — полилогарифмическая функция;
• Psi — дигамма-функция;
• Shi — интегральный гиперболический синус;
• Si — интегральный синус;
• Ssi — синусный интеграл смещения;
• StruveH (L) — функции Струве;
• surd — неглавная корневая функция;
• LambertW — W-функция Ламберта;
• WeberE — Е-функция Вебера;
• WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;
• WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;
• WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;
• WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;
• Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.
Ввиду большого числа специальных функций и наличия множества примеров их вычисления в справочной системе Maple 9.5, ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.
На рис. 3.13 даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple задается определение функций Бесселя. Показано, что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 3.13 дифференциального уравнения второго порядка. Система Maple 9.5/10 способна вычислять производные и интегралы от специальных функций.
Рис. 3.13. Примеры применения специальных функций
Еще несколько примеров работы со специальными функциями представлено на рис. 3.14. Как видно из приведенных примеров, на экране монитора можно получить математически ориентированное представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем представление на Maple-языке или в текстовом формате. Записи функций при этом выглядят как в обычной математической литературе.
Рис. 3.14. Примеры работы со специальными математическими функциями
На рис. 3.14 показаны примеры разложения специальных функций в ряды и применения функции convert для их преобразования. Любопытно отметить, что в двух первых примерах рис. 3.14 вывод оказался иным, чем в предшествующих версиях Maple. Да и в них вывод для этих примеров отличался. Это говорит о непрерывной работе разработчиков над алгоритмами символьных вычислений и необходимости переработки примеров при переходе от одной версии Maple к другой.
3.3.3. Построение графиков специальных функций
Много информации о поведении специальных функций дает построение их графиков. На рис. 3.15 показано построение семейства графиков функций Бесселя BesselJ разного порядка и гамма-функции. Эти функции относятся к числу наиболее известных. Если читателя интересуют те или иные специальные функции, следует прежде всего построить и изучить их графики.
